Диференцијалне једначине - решени задаци
Поступно решени задаци из дифреренцијалних једначина.

Диференцијалне једначине са константим коефицијентима

\[\begin{array} \\ y'' + py' + qy = f\left( x \right) \\ \\ {\text{Прво решавамо хомогени део }} \\ y'' + py' + qy = 0 \\ {k^2} + pk + q = 0 {\text{ -карактеристична једначина}} \\ \\ {k_1} \ne {k_2}{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{y_h} = {C_1}{e^{{k_1}x}} + {C_2}{e^{{k_2}x}} \\ {k_1} = {k_2}{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{y_h} = {C_1}{e^{{k_1}x}} + {C_2}x{e^{{k_1}x}} \\ {k_{1,2}}{\rm{ = }}\alpha \pm i\beta {\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{y_h} = {e^{\alpha x}}\left( {{C_1}\cos \beta x + {C_2}\sin \beta x} \right) \\ \\ {\text{Нехомогени део}} \\ f\left( x \right) = {e^{ax}}\left( {{P_n}\left( x \right)\cos bx + {Q_m}\left( x \right)\sin bx} \right) \\ {\text{Партикуларно решење је облика}} \\ {y_p} = {x^r}{e^{ax}}\left( {{S_N}\left( x \right)\cos bx + {T_N}\left( x \right)\sin bx} \right) \\ N = \max \left\{ {m,n} \right\} \\ {\text{и $r$ вишеструкост $a \pm ib$ као корена карактеристичне једначине}} \\ \\ Y = {y_h} + {y_p} \end{array}\]

Задаци

1. Наћи опште решење диференцијалне једначине   $y'' + 5y' + 6y = x$.

Најпре решавамо хомогени део ове диференцијалне једначине 
$y'' + 5y' + 6y = 0$
Решавајући њену карактеристичну једначину 
${k^2} + 5k + 6 = 0$
добијамо да су њена решења
${k_1} =  - 3{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} \wedge {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} {k_2} =  - 2$
па је хомогено решење наше диференцијалне једначине

\[{y_h} = {C_1}{e^{ - 3x}} + {C_2}{e^{ - 2x}}\]

Да бисмо одредили партикуларно решење посматрамо нехомогени део

$f\left( x \right) = x$

Како нехомогени део треба да буде облика  $f\left( x \right) = {e^{ax}}\left( {{P_n}\left( x \right)\cos bx + {Q_m}\left( x \right)\sin bx} \right)$
Закључујемо

$\left. \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 0
\end{array} \right\} \Rightarrow {\text{      }}{\text{      }} a \pm ib = 0 {\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow{\text{      }}{\text{      }} r = 0$

$\left. \begin{array}{l}
n = 1\\
m = /
\end{array} \right\} \Rightarrow{\text{      }}{\text{      }} N = 1$

Па је партикуларно решење облика

${y_p} = {x^0}{e^{0x}}\left( {\left( {Ax + B} \right)\cos 0x + \left( {Cx + D} \right)\sin 0x} \right)$

односно   ${y_p} = Ax + B$

 

Потребно је још одредити коефицијенте А и В.
То ћемо учинити убацујући партикуларно решење у почетну једначину.

${y_p}' = A$

${y_p}'' = 0$

$0 + 5A + 6\left( {Ax + B} \right) = x$

$6Ax + 5A + 6B = x$

Изједначавајући коефицијенте уз одговарајуће степене добијамо

$6A = 1 {\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow{\text{      }}{\text{      }} A = \frac{1}{6}$

$5A + 6B = 0 {\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow{\text{      }}{\text{      }} B =  - \frac{5}{{36}}$

па је партикуларно решење

\[{y_p} = \frac{1}{6}x - \frac{5}{{36}}\]

односно коначно решење полазне диференцијалне једначине

\[Y = {C_1}{e^{ - 3x}} + {C_2}{e^{ - 2x}} + \frac{1}{6}x - \frac{5}{{36}}\]

 

2. Наћи опште решење диференцијалне једначине   $y''' - 4y' = {x^2}{e^{2x}}$

Најпре решавамо хомогени део ове диференцијалне једначине 

$y''' - 4y' = 0$

${k^3} - 4k = 0$

$k\left( {{k^2} - 4} \right) = 0$

${k_1} = 0{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \wedge {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} {k_2} = 2{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} \wedge {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} {k_3} =  - 2$

Следи да је хомогено решење наше диференцијалне једначине

\[{y_h} = {C_1}{e^{0x}} + {C_2}{e^{2x}} + {C_3}{e^{ - 2x}}\]

\[{y_h} = {C_1} + {C_2}{e^{2x}} + {C_3}{e^{ - 2x}}\]

 

Из нехомогеног дела  $f\left( x \right) = {x^2}{e^{2x}}$  закључујемо да је

$\left. \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 0
\end{array} \right\} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} a \pm ib = 2{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} r = 1$

$\left. \begin{array}{l}
n = 2\\
m = 0
\end{array} \right\} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} N = 2$

Па је партикуларно решење облика

${y_p} = {x^1}{e^{2x}}\left( {\left( {A{x^2} + Bx + C} \right)\cos 0x + \left( {D{x^2} + Ex + F} \right)\sin 0x} \right)$

${y_p} = x{e^{2x}}\left( {A{x^2} + Bx + C} \right)$

 

Одредимо још коефицијенте  А,B,C и D

${y_p}' = 2{e^{2x}}\left( {A{x^3} + B{x^2} + Cx} \right) + {e^{2x}}\left( {3A{x^2} + 2Bx + C} \right)$

${y_p}' = {e^{2x}}\left( {2A{x^3} + \left( {2B + 3A} \right){x^2} + \left( {2C + 2B} \right)x + C} \right)$

 

${y_p}'' = 2{e^{2x}}\left( {2A{x^3} + \left( {2B + 3A} \right){x^2} + \left( {2C + 2B} \right)x + C} \right)$

${\text{      }}{\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}  {\text{      }} {\text{      }} + {e^{2x}}\left( {6A{x^2} + \left( {4B + 6A} \right)x + 2C + 2B} \right)$

${y_p}'' = {e^{2x}}\left( {4A{x^3} + \left( {4B + 12A} \right){x^2} + \left( {4C + 8B + 6A} \right)x + 3C + 2B} \right)$

 

${y_p}''' = 2{e^{2x}}\left( {4A{x^3} + \left( {4B + 12A} \right){x^2} + \left( {4C + 8B + 6A} \right)x + 3C + 2B} \right) $

${\text{      }}{\text{      }}{\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}{\text{      }} + {e^{2x}}\left( {12A{x^2} + \left( {8B + 24A} \right)x + 4C + 8B + 6A} \right)$

${y_p}''' = {e^{2x}}\left( {8A{x^3} + \left( {8B + 36A} \right){x^2} + \left( {8C + 24B + 36A} \right)x + 10C + 12B + 6A} \right)$

 

Уврштавајући партикуларно решење у полазну једначину

 

 

 

3. Наћи опште решење диференцијалне једначине   $y''' - 2y'' = x\sin 2x$

Најпре решавамо хомогени део ове диференцијалне једначине 

$y''' - 2y'' = 0$

${k^3} - 2{k^2} = 0$

${k^2}\left( {k - 2} \right) = 0$

${k_{1,2}} = 0{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \wedge{\text{      }}{\text{      }} {\rm{   }}{k_3} = 2$

Следи да је хомогено решење наше диференцијалне једначине

\[{y_h} = {C_1}{e^{0x}} + {C_2}x{e^{0x}} + {C_3}{e^{2x}}\]

\[{y_h} = {C_1} + {C_2}x + {C_3}{e^{2x}}\]

 

Из нехомогеног дела  $f\left( x \right) = x\sin 2x$  закључујемо да је

$\left. \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 2
\end{array} \right\} \Rightarrow {\text{      }}{\text{      }} a \pm bi = 2i {\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow{\text{      }}{\text{      }} r = 0$

$\left. \begin{array}{l}
n = 0\\
m = 1
\end{array} \right\} \Rightarrow{\text{      }}{\text{      }} N = 1$

Па је партикуларно решење облика

${y_p} = {x^0}{e^{0x}}\left( {\left( {Ax + B} \right)\cos 2x + \left( {Cx + D} \right)\sin 2x} \right)$

${y_p} = \left( {Ax + B} \right)\cos 2x + \left( {Cx + D} \right)\sin 2x$

 

Одредимо још коефицијенте  А,B,C и D

${y_p}' = A\cos 2x + \left( {Ax + B} \right)\left( { - 2\sin 2x} \right) + C\sin 2x + \left( {Cx + D} \right)2\cos 2x$

${y_p}' = \left( {A + 2Cx + 2D} \right)\cos 2x + \left( { - 2Ax - 2B + C} \right)\sin 2x$

 

${y_p}'' = 2C\cos 2x + \left( {A + 2Cx + 2D} \right)\left( { - 2\sin 2x} \right) - 2A\sin 2x + \left( { - 2Ax - 2B + C} \right)2\cos 2x$

${y_p}'' = \left( {4C - 4Ax - 4B} \right)\cos 2x + \left( { - 4A - 4Cx - 4D} \right)\sin 2x$

 

${y_p}''' =  - 4A\cos 2x + \left( {4C - 4Ax - 4B} \right)\left( { - 2\sin 2x} \right) - 4C\sin 2x + \left( { - 4A - 4Cx - 4D} \right)2\cos 2x$

${y_p}''' = \left( { - 12A - 8Cx - 8D} \right)\cos 2x + \left( { - 12C + 8Ax + 8B} \right)\sin 2x$

 

Уврштавајући партикуларно решење у полазну једначину

$y''' - 2y'' = x\sin 2x$

$\left( { - 12A - 8Cx - 8D} \right)\cos 2x + \left( { - 12C + 8Ax + 8B} \right)\sin 2x + $

$+ \left( { - 8C + 8Ax + 8B} \right)\cos 2x + \left( {8A + 8Cx + 8D} \right)\sin 2x = x\sin 2x$

 

$\left( { - 12A - 8Cx - 8D - 8C + 8Ax + 8B} \right)\cos 2x +$

$+ \left( { - 12C + 8Ax + 8B + 8A + 8Cx + 8D} \right)\sin 2x = x\sin x$

 

$ - 12A - 8Cx - 8D - 8C + 8Ax + 8B = 0$

$ - 12C + 8Ax + 8B + 8A + 8Cx + 8D = x$

 

$ - 12A - 8D - 8C + 8B = 0$

$ - 8C + 8A = 0$

$ - 12C + 8B + 8A + 8D = 0$

$8A + 8C = 1$

 

$A = \frac{1}{{16}}$

$C = \frac{1}{{16}}$

$B = \frac{3}{{32}}$

$D =  - \frac{1}{{16}}$

 

Па је партикуларно решење наше једначине

\[{y_p} = \left( {\frac{1}{{16}}x + \frac{3}{{32}}} \right)\cos 2x + \left( {\frac{1}{{16}}x - \frac{1}{{16}}} \right)\sin 2x\]

Односно коначно решење

\[Y = {C_1} + {C_2}x + {C_3}{e^{2x}} + \left( {\frac{1}{{16}}x + \frac{3}{{32}}} \right)\cos 2x + \left( {\frac{1}{{16}}x - \frac{1}{{16}}} \right)\sin 2x\]