Конвергенција и непрекидност

Непрекидност функције

Функција $f$, дефинисана на интервалу $\left( {a,b} \right)$ непрекидна је у тачки ${x_0} \in \left( {a,b} \right)$, ако за произвољно $\varepsilon  > 0$ постоји $\delta  = \delta \left( \varepsilon  \right)$, такво да за све $x \in D\left( f \right)$ важи 

$\left| {x - {x_0}} \right| < \delta  \Rightarrow \left| {f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \right| < \varepsilon .$

Функција $f$ је непрекидна на интервалу $\left( {a,b} \right) \subset D\left( f \right)$, ако је непрекидна у свакој тачки ${x_0} \in \left( {a,b} \right)$.

Функција $f$ је непрекидна здесна (слева) у тачки ${x_0} \in D\left( f \right)$, ако за произвољно $\varepsilon  > 0$ постоји $\delta  = \delta \left( \varepsilon  \right)$, такво да за свако $x \in D\left( f \right)$ важи 

$x - {x_0} < \delta  \Rightarrow \left| {f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \right| < \varepsilon, \quad \left( {{x_0} - x < \delta  \Rightarrow \left| {f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \right| < \varepsilon } \right)$.

Функција $f$ је непрекидна у тачки ${x_0}$, ако и само ако је непрекидна и cдесна и слева у тој тачки.

Функција $f$ је непрекидна на затвореном интервалу $\left[ {a,b} \right]$, ако је непрекидна на отвореном интервалу $\left( {a,b} \right)$ и ако је у тачки $a$ непрекидна здесна, а у тачки $b$ слева.

Ако функција није непрекидна у тачки ${x_0}$  (има прекид у тачки ${x_0}$), тачка се назива тачка прекида функције $f$.

 

Особине непрекидних функција

  1. Ако су функције $f$ и $g$ непрекидне у тачки ${x_0}$, онда су у тој тачки непрекидне и функције
    $$f \pm g, \quad Cf,  \left( {C \ne 0,C \in \mathbb{R}} \right), \quad f \cdot g, \quad \frac{f}{g},  \left( {g\left( {{x_0}} \right) \ne 0} \right).$$
  2. Ако је функција $y = g\left( t \right)$ непрекидна у тачки ${t_0}$, а функција $y = f\left( x \right)$ непрекидна у тачки ${x_0} = g\left( {{t_0}} \right)$, онда је сложена функција $y = f\left( {g\left( t \right)} \right)$ непрекидна у тачки ${t_0}$,
  3. Полином степена $n$ је непрекидан за све ${x_0} \in \mathbb{R}$,
  4. Рационална функција је непрекидна у свим тачама у којима је именилац различит од нуле.
  5. Ако је функција непрекидна и позитивна (негативна) у тачки ${x_0}$, онда постоји околина $U\left( {{x_0}} \right)$ тачке ${x_0}$ таква да за 
    $x \in U\left( {{x_0}} \right) \cap D\left( f \right)$ важи $f\left( x \right) > 0$ $\left( {f\left( x \right) < 0} \right)$.

 

Особине функције непрекидне на затвореном интервалу

  1. Функција непрекидна на затвореном интервалу је ограничена на том интервалу.
  2. За сваку функцију $f$, непрекидну на затвореном интервалу $\left[ {a,b} \right]$, постоји 
    $$m = \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right) \quad \text{и} \quad M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right).$$
  3. Нека је $f$ непрекидна функција на интервалу $\left[ {a,b} \right]$,
    $$m = \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right) < M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right),$$
    и нека је $\alpha  \in \left( {m,M} \right)$. Тада постоји тачка ${x_0}$ из интервала $\left( {a,b} \right)$, за коју је $f\left( {{x_0}} \right) = \alpha$, односно ${C_D}\left( f \right) = \left[ {m,M} \right]$.
  4. Ако је функција $f$ непрекидна на интервалу $\left[ {a,b} \right]$ и $f\left( a \right) \cdot f\left( b \right) < 0$ (функција има различит знак у тачкама $a$ и $b$), онда постоји тачка $c \in \left( {a,b} \right)$ таква да је
    $$f\left( c \right) = 0.$$

 

Веза између непрекидности и граничне вредности  функције

Функција $f$, дефинисана у некој околини тачке ${x_0}$, непрекидна је у тачки ${x_0}$ , ако и само ако постоји гранична вредност функције $f$ у тачки ${x_0}$, једнака $f\left( {{x_0}} \right)$, тј.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).$

 

Униформна непрекидност

Функција $f$ дефинисана на скупу $A \subset D\left( f \right)$ јe униформно непрекидна на том скупу ако за свако $\varepsilon  > 0$ постоји број $\delta  = \delta \left( \varepsilon  \right) > 0$, такав да за свако ${x_1},{x_2} \in A$ важи

$\left| {{x_1} - {x_2}} \right| < \delta  \Rightarrow \left| {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right| < \varepsilon$. 

Ако је функција $f$ униформно непрекидна у скупу $A$, онда је и непрекидна на $A$. Ако је $A$ затворен интервал, важи и обнуто:
Свака функција непрекидна на $\left[ {a,b} \right]$ је униформно нeпрекидна на $\left[ {a,b} \right]$.