Непрекидност функције

Функција $f$ , дефинисана на интервалу $\left( {a,b} \right)$ непрекидна је у тачки ${x_0} \in \left( {a,b} \right)$ , ако за произвољно $\varepsilon > 0$ постоји $\delta = \delta \left( \varepsilon \right)$ , такво да за све $x \in D\left( f \right)$ важи

$\left| {x - {x_0}} \right| < \delta \Rightarrow \left| {f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \right| < \varepsilon .$

Функција $f$ је непрекидна на интервалу $\left( {a,b} \right) \subset D\left( f \right)$ , ако је непрекидна у свакој тачки ${x_0} \in \left( {a,b} \right)$ .

Функција $f$ је непрекидна здесна (слева) у тачки ${x_0} \in D\left( f \right)$ , ако за произвољно $\varepsilon > 0$ постоји $\delta = \delta \left( \varepsilon \right)$ , такво да за свако $x \in D\left( f \right)$ важи

$x - {x_0} < \delta \Rightarrow \left| {f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \right| < \varepsilon, \quad \left( {{x_0} - x < \delta \Rightarrow \left| {f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \right| < \varepsilon } \right)$ .

Функција $f$ је непрекидна у тачки ${x_0}$ , ако и само ако је непрекидна и cдесна и слева у тој тачки.

Функција $f$ је непрекидна на затвореном интервалу $\left[ {a,b} \right]$ , ако је непрекидна на отвореном интервалу $\left( {a,b} \right)$ и ако је у тачки $a$ непрекидна здесна, а у тачки $b$ слева.

Ако функција није непрекидна у тачки ${x_0}$ (има прекид у тачки ${x_0}$ ), тачка се назива тачка прекида функције $f$ .

Особине непрекидних функција

Ако су функције $f$ и $g$ непрекидне у тачки ${x_0}$ , онда су у тој тачки непрекидне и функције
$f \pm g, \quad Cf, \left( {C \ne 0,C \in \mathbb{R}} \right), \quad f \cdot g, \quad \frac{f}{g}, \left( {g\left( {{x_0}} \right) \ne 0} \right).$
Ако је функција $y = g\left( t \right)$ непрекидна у тачки ${t_0}$ , а функција $y = f\left( x \right)$ непрекидна у тачки ${x_0} = g\left( {{t_0}} \right)$ , онда је сложена функција $y = f\left( {g\left( t \right)} \right)$ непрекидна у тачки ${t_0}$ ,
Полином степена $n$ је непрекидан за све ${x_0} \in \mathbb{R}$ ,
Рационална функција је непрекидна у свим тачама у којима је именилац различит од нуле.
Ако је функција непрекидна и позитивна (негативна) у тачки ${x_0}$ , онда постоји околина $U\left( {{x_0}} \right)$ тачке ${x_0}$ таква да за
$x \in U\left( {{x_0}} \right) \cap D\left( f \right)$ важи $f\left( x \right) > 0$ $\left( {f\left( x \right) < 0} \right)$ .

Особине функције непрекидне на затвореном интервалу

Функција непрекидна на затвореном интервалу је ограничена на том интервалу.
За сваку функцију $f$ , непрекидну на затвореном интервалу $\left[ {a,b} \right]$ , постоји
$m = \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right) \quad \text{и} \quad M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right).$
Нека је $f$ непрекидна функција на интервалу $\left[ {a,b} \right]$ ,
$m = \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right) < M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right),$
и нека је $\alpha \in \left( {m,M} \right)$ . Тада постоји тачка ${x_0}$ из интервала $\left( {a,b} \right)$ , за коју је $f\left( {{x_0}} \right) = \alpha$ , односно ${C_D}\left( f \right) = \left[ {m,M} \right]$ .
Ако је функција $f$ непрекидна на интервалу $\left[ {a,b} \right]$ и $f\left( a \right) \cdot f\left( b \right) < 0$ (функција има различит знак у тачкама $a$ и $b$ ), онда постоји тачка $c \in \left( {a,b} \right)$ таква да је
$f\left( c \right) = 0.$

Веза између непрекидности и граничне вредности функције

Функција $f$ , дефинисана у некој околини тачке ${x_0}$ , непрекидна је у тачки ${x_0}$ , ако и само ако постоји гранична вредност функције $f$ у тачки ${x_0}$ , једнака $f\left( {{x_0}} \right)$ , тј.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).$

Униформна непрекидност

Функција $f$ дефинисана на скупу $A \subset D\left( f \right)$ јe униформно непрекидна на том скупу ако за свако $\varepsilon > 0$ постоји број $\delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0$ , такав да за свако ${x_1},{x_2} \in A$ важи

$\left| {{x_1} - {x_2}} \right| < \delta \Rightarrow \left| {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right| < \varepsilon$ .

Ако је функција $f$ униформно непрекидна у скупу $A$ , онда је и непрекидна на $A$ . Ако је $A$ затворен интервал, важи и обнуто:
Свака функција непрекидна на $\left[ {a,b} \right]$ је униформно нeпрекидна на $\left[ {a,b} \right]$ .

Функција $f$ је непрекидна у тачки $x_0$ ако је $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ : функција је ту дефинисана, гранична вредност постоји и једнака је вредности функције. На отвореном интервалу је непрекидна ако је непрекидна у свакој његовој тачки, а на $[a, b]$ још и здесна у $a$ и слева у $b$ . Полиноми су непрекидни свуда, рационалне функције свуда где именилац није нула, а збир, производ, количник и композиција непрекидних функција су непрекидни.

Функција непрекидна на $[a, b]$ достиже најмању и највећу вредност и узима сваку вредност између њих. Ако је још $f(a) \cdot f(b) < 0$ , постоји $c \in (a, b)$ за које је $f(c) = 0$ . Код функција задатих по деловима проверите леву и десну граничну вредност у тачки спајања.

Леви крај a2 cm

Десни крај b3 cm

V(a): 832 cm³
V(b): 1008 cm³
V у средини интервала: 937,5 cm³

Кад је једна од вредности

V(a)

V(b)

испод 1000, а друга изнад, непрекидна крива мора да пресече праву

V = 1000

између

a

b

. Померите један крај на средину интервала и поновите: то је половљење из примера.

Програми за инжењерске прорачуне решавају једначине половљењем интервала: ако непрекидна функција на крајевима интервала има различите знаке, нула је сигурно између њих, па се интервал полови док не постане довољно мали.

Кутија од једног литра

Из углова картона $30 \times 20$ cm исецају се квадрати странице $x$ cm, а остатак се савија у кутију без поклопца запремине $V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x)$ cm³. За $x = 5$ запремина је тачно 1000 cm³, односно 1 l. Покажите да постоји и мањи рез, са $x$ између 2 и 3, који даје исту запремину, и одредите га с тачношћу од четврт центиметра.

Решење

$V$ је полином, па је непрекидна на $[2, 3]$ , као и $g(x) = V(x) - 1000$ .
$g(2) = 2 \cdot 26 \cdot 16 - 1000 = -168 < 0$ , а $g(3) = 3 \cdot 24 \cdot 14 - 1000 = 8 > 0$ .
Пошто је $g(2) \cdot g(3) < 0$ , постоји $c \in (2, 3)$ за које је $g(c) = 0$ , односно $V(c) = 1000$ .
Половимо интервал: $V(2{,}5) = 937{,}5 < 1000$ , па је $c \in (2{,}5;\ 3)$ .
Поново: $V(2{,}75) \approx 976{,}9 < 1000$ , па је $c \in (2{,}75;\ 3)$ , интервал дужине $0{,}25$ .

Одговор: Мањи рез постоји: страница исеченог квадрата је између 2,75 cm и 3 cm (тачно $10 - 5\sqrt{2} \approx 2{,}93$ cm).

Задатак за вежбу

Покажите да једначина $x^3 + x - 3 = 0$ има решење у интервалу $(1, 2)$ , а затим једним половљењем одредите у којој половини тог интервала се налази.

Прикажи решење

$f(x) = x^3 + x - 3$ је полином, а $f(1) = -1 < 0$ и $f(2) = 7 > 0$ , па решење постоји у $(1, 2)$ . Пошто је $f(1{,}5) = 1{,}875 > 0$ , решење је у $(1;\ 1{,}5)$ .