Тригонометрија

Тригонометријске функције

Дефиниције тригонометријских функција оштрог угла

Нека је троугао $ABC$ правоугли, са правим углом код темена $C$.

Означимо са $a$ и $b$ редом дужине катета $BC$ и $CA$, а са $c$ дужину хипотенузе $AB$ троугла $ABC$. Нека је $\alpha=\measuredangle CAB$ и $\beta=\measuredangle CBA$. Тада је:

pravougli trougao

  1. Синус: количник наспрмне стране и хипотенузе,$$\sin \alpha  = \frac{a}{c} \quad \sin \beta  = \frac{b}{c}$$

  2. Косинус: количник налегле катете и хипотенузе,$$\cos \alpha  = \frac{b}{c} \quad \cos \beta  = \frac{a}{c}$$

  3. Тангенс: количник наспрамне и налегле катете,$$tg \alpha  = \frac{a}{b} \quad tg \beta  = \frac{b}{a}$$

  4. Котангенс: количник налегле и наспрамне катете,$$ctg \alpha  = \frac{b}{a} \quad ctg \beta  = \frac{a}{b}$$

  5. Секанс: количник хипотенузе и налегле катете,$$\sec \alpha  = \frac{c}{b} \quad \sec \beta  = \frac{c}{a}$$

  6. Косеканс: количник хипотенузе и наспрамне катете$$cosec\alpha  = \frac{c}{a} \quad cosec \beta  = \frac{c}{b}$$


Тригонометријска кружница

Тригонометријска кружница $k$  је кружница са центром у координатном почетку, $O$ полупречника $1$.

Нека је $\varphi$ произвољан угао посматран у смеру супротном смеру кретања казаљке на сату, почевши од позитивног дела $Ox$-осе.

Тачка $M\left( {x,y} \right)$ је тачка у којој други крак угла сече кружницу $k$.

 

trigonometrijska kruznica1

Синус неког угла у правоуглом троуглу је однос наспрамне катете и хипотенузе, па је $\sin \varphi=\frac{b}{1}=b$. Видимо да $\sin \varphi$ можемо очитати спуштајући нормалу из тачке $М$ на $y$-осу.

Косинус неког угла представља однос налегле катете и хипотенузе у правоуглом троуглу, па је $\cos \varphi=\frac{a}{1}=a$. Видимо да $\cos \varphi$ можемо очитати спуштајући нормалу из тачке $М$ на $x$-осу.

 

trigonometrijska kruznica2

Тангенс неког угла једнак је односу наспрамне и налегле катете, па је $tg \varphi=\frac{c}{1}=c$. Видимо да тангенс угла можемо очитати у пресеку другог крака угла са тангентом кружнице паралелном са $y$-осом.

Котангенс неког угла једнак је односу налегле и наспрамне катете, па је $ctg \varphi=\frac{d}{1}=d$. Видимо да кoтангенс угла можемо очитати у пресеку другог крака угла са тангентом кружнице паралелном са $x$-осом.

trigonometrijska kruznica

 

 

Како угловима $\varphi + 2k\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$ на кружници $k$ одговара иста тачка $M$, важи

$$\sin \left( {\varphi + 2k\pi } \right) = \sin \varphi \quad \cos \left( {\varphi + 2k\pi } \right) = \cos \varphi$$

Угловима $\varphi + k\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$ одговарају исти одсечци на тангентама, и важи

$$tg\left( {\varphi + k\pi } \right) = tg\varphi, \quad ctg\left( {\varphi + k\pi } \right) = ctg\varphi.$$

 

Тачка $M\left( {x,y} \right) = M\left( {\cos \varphi,\sin \varphi} \right)$ припада кружници $k$ за свако $\varphi \in \mathbb{R}$, и важи

$ - 1 \leqslant \sin \varphi \leqslant 1, \quad - 1 \leqslant \cos \varphi \leqslant 1$, 

${\sin ^2}\varphi + {\cos ^2}\varphi = 1$

 

Знак тригонометријских функција по квадрантима

znak trig fja



Свођење на први квадрант

Следеће формуле важе за сваки угао $\alpha $, али се првенствено користе када је $\alpha$ оштар угао:

$$\sin \left( { - \alpha } \right) =  - \sin \alpha,$$

$$\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha,$$

$$tg\left( { - \alpha } \right) =  - tg\alpha,$$

$$ctg\left( { - \alpha } \right) =  - ctg\alpha.$$

 

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\left( {2k\pi + \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\alpha $

 

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\left( {\pi \pm \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{ \mp \sin } \\
{ - \cos } \\
{ \pm tg} \\
{ \pm ctg}
\end{array}} \right\}\alpha $

 

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\left( {\frac{\pi }{2} \pm \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{ + \cos } \\
{ \mp \sin } \\
{ \mp ctg} \\
{ \mp tg}
\end{array}} \right\}\alpha $

 

$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\left( {\frac{{3\pi }}{2} \pm \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - \cos } \\
{ \pm \sin } \\
{ \mp ctg} \\
{ \mp tg}
\end{array}} \right\}$

 

Основни идентитети тригонометријских функција истог угла

$${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1,$$

$${\text{tg}}\alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}, \quad{\text{ctg}}\alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }},$$

$$t{\text{g}}\alpha  \cdot {\text{ctg}}\alpha  = 1$$

$$\sin \alpha  \cdot cosec\alpha  = 1, \quad \cos \alpha  \cdot \sec \alpha  = 1,$$

$${\sec ^2 \alpha} = 1 + t{g^2}\alpha, \quad cose{c^2}\alpha  = 1 + ct{g^2}\alpha,$$

$${\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{1 + t{g^2}\alpha }} = \frac{{ct{g^2}\alpha }}{{1 + ct{g^2}\alpha }},$$

$${\sin ^2}\alpha  = \frac{1}{{1 + ct{g^2}\alpha }} = \frac{{t{g^2}\alpha }}{{1 + t{g^2}\alpha }}.$$

 

Неке вредности тригонометријских функција

trigonometrijska kruznica sin cos

trigonometrijska kruznica tg ctg

tablica

Адиционе формуле

За свако $\alpha ,\beta  \in \mathbb{R}$ важи

$$\sin \left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \sin \alpha  \cdot \cos \beta  \pm \cos \alpha  \cdot \sin \beta,$$

$$\cos \left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \cos \alpha  \cdot \cos \beta  \mp \sin \alpha  \cdot \sin \beta .$$

За свако $\alpha ,\beta  \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi :k \in \mathbb{Z}} \right\}$ важи

$$tg\left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \frac{{tg\alpha  \pm tg\beta }}{{1 \mp tg\alpha  \cdot tg\beta }}, \quad \left( {1 \mp tg\alpha tg\beta  \ne 0} \right).$$

За свако $\alpha ,\beta  \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi :k \in \mathbb{Z}} \right\}$ важи

$$ctg\left( {\alpha  \pm \beta } \right) = \frac{{ctg\alpha  \cdot ctg\beta  \mp 1}}{{ctg\alpha  \pm ctg\beta }}, \quad \left( {ctg\alpha  \pm ctg\beta  \ne 0} \right).$$

Тригонометријске функције двоструког угла

$$\sin 2\alpha {\text{   =   }}2\sin \alpha \cos \alpha,$$

$$\cos 2\alpha {\text{   =   }}{\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1,$$

$$tg2\alpha  = \frac{{2tg\alpha }}{{1 - t{g^2}\alpha }}, \quad ctg2\alpha  = \frac{{ct{g^2}\alpha  - 1}}{{2ctg\alpha }}.$$

Тригонометријске функције половине угла

$$\sin \frac{\alpha }{2} =  \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{2}}, \quad \cos \frac{\alpha }{2} =  \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{2}} ,$$

$$tg\frac{\alpha }{2} =  \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}}  = \frac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }} = \frac{{1 - \cos \alpha }}{{\sin \alpha }},$$

$$ctg\frac{\alpha }{2} =  \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{{1 - \cos \alpha }} = } \frac{{\sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha }} = \frac{{1 + \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.$$

Трансформација збира и разлике тригонометријских функција у производ

$$\sin \alpha  \pm \sin \beta  = 2\sin \frac{{\alpha  \pm \beta }}{2} \cdot \cos \frac{{\alpha  \mp \beta }}{2},$$

$$\cos \alpha  + \cos \beta  = 2\cos \frac{{\alpha  + \beta }}{2} \cdot \cos \frac{{\alpha  - \beta }}{2},$$

$$\cos \alpha  - \cos \beta  =  - 2\sin \frac{{\alpha  + \beta }}{2} \cdot \sin \frac{{\alpha  - \beta }}{2},$$

$$tg\alpha  \pm tg\beta  = \frac{{\sin \left( {\alpha  \pm \beta } \right)}}{{\cos \alpha  \cdot \cos \beta }},$$

$$ctg\alpha  \pm ctg\beta  = \frac{{\sin \left( {\beta  \pm \alpha } \right)}}{{\sin \alpha  \cdot \sin \beta }}.$$

Трансформација производа тригонометријских функција у збир или разлику

$$\sin \alpha  \cdot \sin \beta  = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha  + \beta } \right)} \right],$$

$$\sin \alpha  \cdot \cos \beta  = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha  - \beta } \right)} \right],$$

$$\cos \alpha  \cdot \cos \beta  = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha  - \beta } \right)} \right].$$

Важније тригонометријске формуле 

$$\sin \alpha  = \frac{{2tg\frac{\alpha }{2}}}{{1 + t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}, \quad \cos \alpha  = \frac{{1 - t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}, \quad {\text{tg}}\alpha  = \frac{{2tg\frac{\alpha }{2}}}{{1 - t{g^2}\frac{\alpha }{2}}},$$

$$\sin \alpha  + \sin 2\alpha  + \sin 3\alpha  + ... + \sin n\alpha  = \frac{{\cos \frac{\alpha }{2} - \cos \frac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}}}{{2\sin \frac{\alpha }{2}}},$$

$$\cos \alpha  + \cos 2\alpha  + \cos 3\alpha  + ... + \cos n\alpha  = \frac{{ - \sin \frac{\alpha }{2} + \sin \frac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}}}{{2\sin \frac{\alpha }{2}}}.$$