Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Мерење угла у радијанима

1rad=(180∘π)≈57.2958∘≈57∘17′45′′,1rad = \left( {\frac{{180^\circ }}{\pi }} \right) \approx 57.2958^\circ \approx 57^\circ 17'45'',

1∘=π180rad≈0.017453 rad1^\circ = \frac{\pi }{{180}}rad \approx 0.017453{\text{ }}rad

1′=π180⋅60rad≈0.000291 rad1' = \frac{\pi }{{180 \cdot 60}}rad \approx 0.000291{\text{ }}rad

1′′=π180⋅60⋅60rad≈0.00005 rad1'' = \frac{\pi }{{180 \cdot 60 \cdot 60}}rad \approx 0.00005{\text{ }}rad

Угао од једног радијана је централни угао коме одговара лук дугачак колико и полупречник кружнице. Зато је мера угла у радијанима однос дужине лука и полупречника, α=lr\alpha = \frac{l}{r}, а пун угао од 360∘360^\circ има 2π2\pi радијана. Одатле следе формуле за претварање: 1 rad=180∘π≈57∘17′45′′1\ \mathrm{rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57^\circ 17' 45'' и 1∘=π180 rad≈0,017453 rad1^\circ = \frac{\pi}{180}\ \mathrm{rad} \approx 0{,}017453\ \mathrm{rad}.

Степене претварате у радијане множењем са π180\frac{\pi}{180}, а радијане у степене множењем са 180π\frac{180}{\pi}. Најчешће вредности знајте напамет: 90∘=π290^\circ = \frac{\pi}{2}, 180∘=π180^\circ = \pi. Пазите на калкулатор: подесите га на радијане кад рачунате са њима. Формула за лук l=rαl = r\alpha важи само ако је угао у радијанима.

α = 3π/4 = 135°1−11−1Oxy0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/6Pα
Угао у степенима
135°
Угао у радијанима
2,356 rad
Лук кад је r = 15 m
35,34 m
При 180∘180^\circ угао у радијанима је π≈3,142\pi \approx 3{,}142, а већ при 60∘60^\circ прелази 1, јер један радијан има око 57∘57^\circ. Лук на кружном току полупречника 15 m расте исто као угао у радијанима: l=15αl = 15\alpha.

Радијани су природна мера угла у физици и техници: из њих се директно рачунају дужина пута по кривини и обимна брзина точка, а програмски језици као Python и JavaScript у функцијама sin⁡\sin и cos⁡\cos очекују угао у радијанима.

Пут кроз кружни ток

Аутомобил у Новом Саду улази у кружни ток и вози по кружној путањи полупречника 15 m. Излази после угла од 135∘135^\circ, мереног из центра кружног тока. Колики пут пређе на кружном току?

Решење

  1. Дужина лука је l=rαl = r\alpha, али само кад је угао у радијанима, па прво претварамо угао.
  2. α=135⋅π180=3π4≈2,356 rad\alpha = 135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4} \approx 2{,}356\ \mathrm{rad}.
  3. l=15⋅3π4=45π4≈35,34l = 15 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{45\pi}{4} \approx 35{,}34 m.
  4. Да смо у формулу ставили степене, добили бисмо 15⋅135=202515 \cdot 135 = 2025 m, што је очигледно бесмислено.

Одговор: На кружном току аутомобил пређе приближно 35,3 m.

Задатак за вежбу

Точак бицикла има полупречник 35 cm. Колики пут пређе бицикл док се точак окрене за 150∘150^\circ?

Прикажи решење

α=150⋅π180=5π6\alpha = 150 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}, па је l=35⋅5π6=175π6≈91,6l = 35 \cdot \frac{5\pi}{6} = \frac{175\pi}{6} \approx 91{,}6 cm.