Диференцијалне једначине

Диференцијалне једначине другог реда

Диференцијална једначина другог реда је диференцијална једанчина облика 

$F\left( {x,y,y',y''} \right) = 0$.

Њено опште решење има облик $y = f\left( {x,{c_1},{c_2}} \right)$.

 

Једначина облика $y'' = f\left( x \right)$

Опште решење диференцијалне једначине другог реда облика $y'' = f\left( x \right)$ дато је са

$y = \int {\left[ {\int {f\left( x \right)dx} } \right]dx}$

и има облик $y = \varphi \left( x \right) + {c_1}x + {c_2}$.

 

Једначина облика $y'' + py' + qy = 0$

Хомогена диференцијална једначина другог реда са константним коефицијентима је свака диференцијална једначина која се може записати у облику

$y'' + py' + qy = 0$

где су $p$ и $q$ константе. У зависности од облика карактеристичне једначине

${k^2} + pk + q = 0$,

разликују се следећа три случаја:

  1. $D = \frac{{{p^2}}}{4} - q > 0$.
    Решење ${k_1}$ и ${k_2}$ карактеристичне једначине су реална и различита, а опште решење посматране диференцијалне једначине је тада

    $y = {c_1}{e^{{k_1}x}} + {c_2}{e^{{k_2}x}}$

  2. $D = 0$.
    Карактеристична једначина има двоструко реално решење ${k_1}$, а опште решење посматране диференцијалне једначине је тада 

    $y = \left( {{c_1} + {c_2}x} \right){e^{kx}}$.

  3. $D < 0$ 
    Решење ${k_1}$ и ${k_2}$ карактеристичне једначине су конјуговано – комплексни бројеви 

    ${k_1} = \alpha  + i\beta $ и ${k_2} = \alpha  - i\beta $,

    а опште решење посматране линеарне једначине је тада

    $y = {e^{\alpha x}}\left( {{c_1}\cos \beta x + {c_2}\sin \beta x} \right)$ 

 

Једначина облика $y'' + py' + qy = f\left( x \right)$

Нехомогомена линеарна једначина другог реда са константним коефицијентима је свака диференцијална једначина облика

$y'' + py' + qy = f\left( x \right)$

Њено опште решење је облика

$y = {y_0} + {y_p}$,

где је ${y_0}$ опште решење одговарајуће хомогене линеарне диференцијалне једначине

$y'' + py' + qy = f\left( x \right)$,

а ${y_p}$ партикуларно решење задате диференцијалне једначине. 

Ако је

$f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {{f_k}\left( x \right)} $,

а партикуларно решење диференцијалних једначина

$y'' + py' + qy = {f_k}\left( x \right)$, $k = 1,2,...,n$

су ${y_k}$, онда је опште решење дате диференцијалне једначине

$y = {y_0} + \sum\limits_{k = 1}^n {{y_{k.}}} $