Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Диференцијалне једначине

Диференцијалне једначине су једначине облика

F(x,y,y′,y′′,y′′′,....,y(n))=0.F\left( {x,y,y',y'',y''',....,{y^{\left( n \right)}}} \right) = 0.

Нaјвиши извод непознате функције yy одређује ред диференцијалне једначине.

Решење диференцијалне једначине је свака функција. Која, заједно са својим изводима, идентички задовољава диференцијалне једначине.

Решење диференцијалне једначине nn-тог реда, које има облик y=(x,c1,c2,...,cn)y = \left( {x,{c_1},{c_2},...,{c_n}} \right), где су c1,c2,...,cn{c_1},{c_2},...,{c_n} произвољне константе, назива се опште решење (општи интеграл).

Ако се у општем решењу диференцијалне једначине произвољним константама c1,c2,...,cn{c_1},{c_2},...,{c_n} доделе одређене вредности, добијено решење називамо партикуларно решење (партикуларни интеграл).

Произвољне константе c1,c2,...,cn{c_1},{c_2},...,{c_n} често се одређују из услова да функција и њени изводи, сем највишег, за неку вредност аргумента имају одређене вредности. Ти услови се називају почетни услови.

Диференцијална једначина F(x,y,y′,…,y(n))=0F(x, y, y', \dots, y^{(n)}) = 0 повезује непознату функцију yy са њеним изводима. Ред једначине је ред највишег извода у њој: y′′+y=x3y'' + y = x^3 је другог реда, без обзира на трећи степен. Решење је свака функција која, заједно са својим изводима, идентички задовољава једначину, а то се увек може проверити уврштавањем.

Опште решење једначине nn-тог реда садржи nn произвољних константи c1,c2,…,cnc_1, c_2, \dots, c_n. Кад им се доделе конкретне вредности, добија се партикуларно решење. Константе се најчешће одређују из почетних услова, тј. из вредности функције и њених извода до реда n−1n - 1 у једној тачки. Зато једначина другог реда тражи два услова.

24681020406080100120140t (s)s (m)
20 m/s
5 m/s²
Аутомобил стане после
4 s
Пут кочења
40 m
Сваки положај клизача даје друго партикуларно решење исте једначине s′′=−as'' = -a, са константама c1=v0c_1 = v_0 и c2=0c_2 = 0 из почетних услова. Удвостручите почетну брзину: пут кочења порасте четири пута, јер је једнак v022a\frac{v_0^2}{2a}.

Закони кретања, хлађења, раста популације и пражњења батерије записују се као диференцијалне једначине, па их решавају програми за симулације, од прорачуна кочења возила до временске прогнозе.

Кочење пред прелазом

Аутомобил вози 72 km/h, тј. 20 m/s, кад возач угледа пешака и почне да кочи. Пређени пут s(t)s(t) у метрима задовољава једначину s′′=−5s'' = -5 (успорење од 5 m/s²), уз почетне услове s(0)=0s(0) = 0 и s′(0)=20s'(0) = 20. Колики је пут кочења?

Решење

  1. Једначина је другог реда, па опште решење има две константе. Интеграцијом добијамо s′=−5t+c1s' = -5t + c_1, а још једном интеграцијом s=−2,5t2+c1t+c2s = -2{,}5t^2 + c_1t + c_2.
  2. Из почетних услова је s(0)=c2=0s(0) = c_2 = 0 и s′(0)=c1=20s'(0) = c_1 = 20, па је партикуларно решење s=−2,5t2+20ts = -2{,}5t^2 + 20t.
  3. Аутомобил стане кад му је брзина нула: s′(t)=−5t+20=0s'(t) = -5t + 20 = 0, тј. после t=4t = 4 s.
  4. Пут кочења је s(4)=−2,5⋅16+20⋅4=−40+80=40s(4) = -2{,}5 \cdot 16 + 20 \cdot 4 = -40 + 80 = 40 m.

Одговор: Аутомобил стане после 4 s, на 40 m од места где је почео да кочи.

Задатак за вежбу

Одредите ред једначине y′′=6xy'' = 6x, њено опште решење и партикуларно решење за које је y(0)=1y(0) = 1 и y′(0)=2y'(0) = 2.

Прикажи решење

Једначина је другог реда. y′=3x2+c1y' = 3x^2 + c_1 и y=x3+c1x+c2y = x^3 + c_1x + c_2. Из y(0)=c2=1y(0) = c_2 = 1 и y′(0)=c1=2y'(0) = c_1 = 2 следи y=x3+2x+1y = x^3 + 2x + 1.