Диференцијалне једначине

Диференцијалне једначине првог реда

Диференцијална једначина првог реда је диференцијална једначина облика $F\left( {x,y,y'} \right) = 0$. Њено опште решење има облик 

$y = f\left( {x,c} \right)$.

 

Раздвајање променљивих

Диференцијална једначина код које се могу раздвојити променљиве је свака диференцијална једначина која се може записати у облику

${f_1}\left( y \right)dy = {f_z}\left( x \right)dx$.

Интеграцијом обе стране једначине добија се решење:

$\int {{f_1}\left( y \right)dy = \int {{f_2}\left( x \right)dx} } $

(адитивну константу довољно је увести на деснос стани једначине).
Ако је диференцијална једначина првог реда задата задата преко првог извода стављајући

$y' = \frac{{dy}}{{dx}}$,

долази се до облика ${f_1}\left( y \right)dy = {f_2}\left( x \right)dx$, а интеграцијом до општег решења.

 

Смена променљивих

Једначине облика

$y' = f\left( {ax + by + c} \right)$

сменом

$ax + dy + c = u$

где је $u$ нова непозната функција, своде се на случај када се променљиве могу раздвојити.

 

Хомогена диференцијална једначина првог реда

Функција $F\left( {x,y} \right)$ је хомогена са степеном $k$, ако за произвољно $t > 0$ важи идентитет

$f\left( {tx,ty} \right) = {t^k} \cdot F\left( {x,y} \right).$

Хомогена диференцијална једначина првог реда је диференцијална једначина првог реда, у којој је први извод једнак хомогеној функцији са степеном $k = 0$. За хомогену функцију са степеном $k = 0$ важи $F = \left( {tx,ty} \right) = F\left( {x,y} \right)$. Узимајући

$t = \frac{1}{x}$,

добија се

$F\left( {x,y} \right) = F\left( {1,\frac{y}{x}} \right) = f\left( {\frac{y}{x}} \right)$,

одакле следи да се хомогена диференцијална јеначина првог реда може записати у облику

$y' = f\left( {\frac{y}{x}} \right)$.

Сменом

$\frac{y}{x} = u$,

ова једначине се своди на диференцијалну једначину првог реда код које е могу раздвојити променљиве.

 

Линеарна  диференцијална једначина првог реда

Диференцијалана једначина облика

${a_0}\left( x \right)y` + {a_1}\left( x \right)y + {a_2}\left( x \right) = 0$,

назива се линеарна диференцијална једначина првог реда.

Ако је ${a_0}\left( x \right) \ne 0$, из те једначине добија се

$y` + p\left( x \right)y + q\left( x \right) = 0$.

Ако су $u = u\left( x \right)$ и $v = v\left( x \right)$ диференцијабилне функције, тада се опште решење линеарне диференцијабилне једначине $y` + p\left( x \right)y + q\left( x \right) = 0$ може тражити у облику $y = u \cdot v$, где се један од чинилаца у производу слободно бира. Диференцирањем се добија

$y` = u`v + uv`$,

а затим, из једначине $y` + p\left( x \right)y + q\left( x \right) = 0$, следи 

$u`v + uv` + puv + q = 0$

односно

$u`v + u\left( {v` + pv} \right) + q = 0$.

Функција $v$ се одређује тако да важи 

$v` + pv = 0$,

па се из једначине $u`v + u\left( {u` + pv} \right) + q = 0$ добија

$u`v + q = 0$.

Једначина $v' + pv = 0$ се решава по $v$ раздавајањем променљивих.

Пошто је довољно узети једно решење, обично се узима да је константа једнака нули. Заменом добијеног решења у једначину $u'v + q = 0$ и она постаје диференцијална једначина првог реда по $u$, у којој се могу раздвојити применљиве. Множењем општег решења $u$ једначине $u'v + q = 0$ са $v$, добија се опште решење дате линеарне диференцијалне једначине првог реда.

 

Бернулијева диференцијална једначина

Диференцијална једначина првог реда облика 

$y' + p\left( x \right)y = q\left( x \right){y^n}$

где су $p$ и $q$ непрекидне функције, а $n$ реалан број и $n \ne 0,{\text{ }}n \ne 1$, назива се Безнулијева диференцијална једначина.

Овај тип једначина се решава свођењем на линеарну диференцијалну једначину првог реда. Дата једначина се прво запише у облику

${y^{ - n}}y' + p{y^{1 - n}} = q$,

а затим се сменом

$z = {y^{1 - n}}$, ${\text{ }}z' = \left( {1 - n} \right){y^{ - n}} \cdot y'$

своди налинеарну диференцијалну једначину првог реда

$z' + \left( {1 - n} \right)pz = \left( {1 - n} \right)q$

Решавањем ове диференцијалне једначине и враћањем смене $z = {y^{1 - n}}$, добија се опште решење Бернулијеве диференцијалне једначине.