Линеарна алгебра

Алгебарске структуре

 Операција дужине $n$ у непразном скупу $S$ је свако пресликавање: ${S^n} \to S.$ За $n = 1$ кажемо да је операција унарна, а за  $n = 2$ кажемо да је бинарна.

Ако бинарну операцију у $S$ означимо са $*$, онда за $a,b,c \in S$ уместо $\left( {a,b} \right)\overset{*}\longmapsto c$, пишемо $a * b = c$.

Нека је $S$ непразан скуп, $ * $ и $ \circ $ бинарне операције,  ' унарна операција и $\Omega $ скуп свих операција у $S$. Уређени пар $\left( {S,\Omega } \right)$ назива се алгебра или алгебарска структура.

Групоид

Уређени пар $\left( {S, * } \right)$ је групоид ако важи:

$$\left( {\forall a,b \in S} \right)\left( {a * b = c \in S} \right).$$

Полугрупа

Уређени пар $\left( {S, * } \right)$ је полугрупа (семигрупа) ако важи:

  1. $\left( {\forall a,b \in S} \right)\left( {a * b = c \in S} \right)$,
  2. $\left( {\forall a,b,c \in S} \right)\left( {\left( {a * b} \right) * c = a * \left( {b * c} \right)} \right)$.

 

Група

Уређени пар $\left( {S, * } \right)$ је група ако важи:

  1. $\left( {\forall a,b \in S} \right)\left( {a * b = c \in S} \right)$,
  2. $\left( {\forall a,b,c \in S} \right)\left( {\left( {a * b} \right) * c = a * \left( {b * c} \right)} \right),$
  3. $\left( {\exists e \in S} \right)\left( {\forall a \in S} \right)\left( {a * e = e * a = a} \right),$ ( $e$ је неутрални елемент у односу на операцију $ * $ ),
  4. $\left( {\forall a \in S} \right)\left( {\exists {a^{ - 1}} \in S} \right)\left( {a * {a^{ - 1}} = {a^{ - 1}} * a = e} \right),$ ( сваки елемент има свој инверзни ).
    Ако уз то важи и
  5. $\left( {\forall a,b \in S} \right)\left( {a * b = b * a} \right),$ група је комутативна или Абелова.

 

Прстен

Уређена тројка $\left( {S, * , \circ } \right)$ је прстен ако важи:

  1. $\left( {S, * ,} \right)$ је комутативна група,
  2. $\left( {S, \circ } \right)$ је полугрупа,
  3. $\left( {\forall a,b,c \in S} \right)\left( {a \circ \left( {b * c} \right) = \left( {a \circ b} \right) * \left( {a \circ c} \right)} \right).$

 

Поље

Уређена тројка $\left( {S, * , \circ } \right)$ је поље ако важи:

  1. $\left( {S, *} \right)$ је комутативна група,
  2. $\left( {S\backslash \left\{ 0 \right\}, \circ } \right)$ комутативна група ( $0$ је неутрални елемент у $S$ у оносу на $*$ ),
  3. $\left( {\forall a,b,c \in \left. S \right)\left( {a \circ \left( {b * \left. c \right) = \left( {a \circ \left. b \right) * \left( {a \circ \left. c \right)} \right.} \right.} \right.} \right.} \right).$


Булова алгебра

Уређена четворка $\left( {S, * , \circ ,'} \right)$ је Булова алгебра ако важи:

  1. $\left( {\forall a,b,c \in S} \right)\left( {a * \left( {b * c} \right.} \right) = \left( {a * b} \right) * c$ и $a \circ \left( {b \circ c} \right) = \left( {a\left. { \circ b} \right) \circ c} \right),$
  2. $\left( {\forall a,b \in S} \right)\left( {a * b = b * a} \right.$ и $a \circ b = b \circ \left. a \right),$
  3. $\left( {\forall a,b,c \in S} \right)\left( {a \circ \left( {b * c} \right) = \left( {a \circ b} \right) * \left( {a \circ c} \right)} \right.$ и $\left( {a * \left( {b \circ c} \right) = \left( {a * b} \right) \circ \left( {a * c} \right)} \right.$
  4. $\left( {\exists 0 \in S} \right)\left( {\exists 1 \in S} \right)\left( {\forall a \in S} \right)\left( {a * 0 = 0 * a = 0} \right.$ и $a \circ 1 = 1 \circ a = \left. a \right),$
  5. $\left( {\forall a \in S} \right)\left( {a * a' = 1} \right.$ и $a \circ a' = \left. 0 \right).$

 

Векторски простори

Скуп $V$ је векторски простор над пољем $\left( { \mathbb{K}, + , \cdot } \right)$ , ако је $V$ дефинисана бинарна операција $+$, таква да је $\left( {V, + } \right)$ комутативна група и ако је између елемената групе $V$ и поља $\mathbb{K}$ дефинисана бинарна операција множења, која сваком уређеном пару елемената $a \in V$ и $x \in \mathbb{K}$ придружује елемент $xa \in V$ , тако да важи:

  1. $\left( {\forall x \in \mathbb{K}} \right)\left( {\forall a,b \in V} \right)\left( {x\left( {a + b} \right) = xa + xb} \right),$
  2. $\left( {\forall x,y \in \mathbb{K}} \right)\left( {\forall a \in V} \right){\text{   }}\left( {\left( {x + y} \right) \cdot a = xa + ya} \right),$
  3. $\left( {\forall x,y \in \mathbb{K}} \right)\left( {\forall a \in V} \right){\text{   }}\left( {x\left( {ya} \right) = \left( {xy} \right)a} \right),$
  4. $\left( {\forall a \in V} \right){\text{                      }}\left( {1 \cdot a = a} \right),$

( подразумева се уобичајено означавање неутралних елемената из $\mathbb{K}$ и $V$ ).

Елементи скупа $V$ се називају вектори, а поља $\mathbb{K}$ скалари. 

Скуп вектора $\left\{ {{a_1},{a_2},....,{a_n}} \right\}$ генерише векторски простор $V$ , ако се сваки вектор из $V$ може представити као линеарна комбинација из вектора ${a_1},{a_2},....,{a_n}:$

$\left( {\forall a \in V} \right)\left( {\exists {x_1},{x_2},....,{x_n} \in \mathbb{K}} \right)\left( {a = {x_1}{a_1} + {x_2}{a_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {x_n}{a_n}} \right).$

 

Линеарно зависни вектори

Скуп вектора $\left\{ {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right\}$ векторског простора  $V$ је линеарно зависан, ако постоје скалари ${x_1},{x_2},.....{x_n} \in \mathbb{K}$ од којих је бар један раличит од $0$, такви да је

${x_1}{a_1} + {x_2}{a_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {x_n}{a_n} = 0.$

 Ако је ${x_1}{a_1} + {x_2}{a_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {x_n}{a_n} = 0$ само онада када је ${x_1} = {x_2} = .{\text{ }}.{\text{ }}. = {x_n} = 0$ , онда су вектори ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ линеарно независни.

 

База векторског простора

База векторског простора $V$ је уређен скуп линеарно независних вектора из $V$, који генерише $V$.
Ако база векторског простора  $V$ има $n$ вектора, каже се да $V$ $n$-димензионални простор и пише се $\dim V = n$.

У $n$-димензионалном векторском просору сваки скуп од $n$ линеарно независних вектора чини базу тог простора.