Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Елементарне трансформације

Елементарне трансформације система линеарних једначина су следеће транформације:

  1. међусобна замена било које две једначине,
  2. множење било које једначине бројем различитим од нуле,
  3. додавање јeдне једначине, помножене било којим бројем, некој другој једначини.

Елементарне трансформације система линеарних једначина су три: замена места двема једначинама, множење једне једначине бројем различитим од нуле и додавање једне једначине, помножене неким бројем, другој једначини. Свака од њих даје еквивалентан систем, са истим решењима, јер се може поништити обрнутом трансформацијом.

На томе почива Гаусов поступак: трансформацијама се непознате редом елиминишу док систем не добије степенасти облик, а затим се решава од последње једначине ка првој. Исте трансформације над врстама матрице не мењају њен ранг. Пазите на две грешке: множење нулом брише једначину, а при додавању се множи цела једначина, и лева и десна страна.

12345123450xyx + y = 52x − y = 1(2, 3)
−1
Коефицијент уз x
1
Коефицијент уз y
−2
Десна страна
−4
Зелена права приказује једначину (2+k)x+(k−1)y=1+5k(2 + k)x + (k - 1)y = 1 + 5k, која настаје кад другој једначини додате прву помножену са kk. Права се окреће, али увек пролази кроз тачку (2,3)(2, 3): решење система се не мења. За k=1k = 1 нестаје yy, а за k=−2k = -2 нестаје xx.

Програми који рачунају силе у решеткама мостова или струје у електричним мрежама решавају системе са стотинама непознатих управо Гаусовим поступком, односно низом елементарних трансформација.

Рачуни из кафића

Јована је три пута седела са друштвом у истом кафићу у Нишу и сачувала рачуне: кафа, сок и кроасан коштали су 450 дин.; две кафе, сок и три кроасана 840 дин.; кафа, два сока и два кроасана 750 дин. Колико кошта кафа, колико сок, а колико кроасан?

Решење

  1. Са xx, yy и zz означимо цене кафе, сока и кроасана: x+y+z=450x + y + z = 450, 2x+y+3z=8402x + y + 3z = 840, x+2y+2z=750x + 2y + 2z = 750.
  2. Другој једначини додамо прву помножену са −2-2: −y+z=−60-y + z = -60.
  3. Трећој једначини додамо прву помножену са −1-1: y+z=300y + z = 300.
  4. Новој трећој једначини додамо нову другу: 2z=2402z = 240, па је z=120z = 120.
  5. Враћамо се уназад: y=300−120=180y = 300 - 120 = 180 и x=450−180−120=150x = 450 - 180 - 120 = 150.

Одговор: Кафа кошта 150 дин., сок 180 дин., а кроасан 120 дин.

Задатак за вежбу

Решите систем x+y+z=6x + y + z = 6, 2x−y+z=32x - y + z = 3, x+2y−z=2x + 2y - z = 2 елементарним трансформацијама.

Прикажи решење

Другој додамо прву помножену са −2-2, а трећој прву помножену са −1-1: −3y−z=−9-3y - z = -9 и y−2z=−4y - 2z = -4. Трећу помножимо са 3 и додамо другој: −7z=−21-7z = -21, па је z=3z = 3, y=2z−4=2y = 2z - 4 = 2 и x=6−y−z=1x = 6 - y - z = 1.