Линеарна алгебра

Детерминанте

Ако је 

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}}
\end{array}} \right]$

квадратна матрица реда $n$ , онда је детерминанта реда $n$ матрице $A$, а у ознаци $\det A$ , алгебарски збир свих могућих производа од по $n$ елемената матрице $A$, таквих да се у сваком производу појављује по један и само један елемент из сваке врсте и сваке колоне дате матрице (сваки такав производ називамо члан детерминанте). У таквом збиру члан

$${a_{1{i_1}}}{a_{2{i_2}}}...{a_{n{i_n}}}$$

узимамо са знаком $+$ ако је пермутација ${i_1},{i_2},...,{i_n}$ парна, а са знаком $-$ ако је та пермутација непарна.

Према тој дефиницији, важи 

$\det A = \sum\limits_\alpha  {{{\left( { - 1} \right)}^{I_\alpha }}} {a_{1\alpha \left( 1 \right)}} \cdot {a_{2\alpha \left( 2 \right)}}...{a_{n\alpha \left( n \right)}},$

где се сумирање врши по свим пермутацијама $\alpha$ скупа $\left\{ {1,2,...,n} \right\}$ и где је ${I_\alpha } = 0$ ако је одговарајућа пермутација парна, а  ${I_\alpha } = 1$ ако је непарна. 

Детерминанта матрице $A$ означава се и са $\left| A \right|$ или 

$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}}
\end{array}} \right|$

За $n = 2$ је

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}
\end{array}} \right| = {a_{11}}{a_{22}} - {a_{21}}{a_{12}}.$

За $n = 3$ је

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}} \\
{{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}
\end{array}} \right| = \begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}{a_{22}}{a_{33}} + {a_{12}}{a_{23}}{a_{31}} + {a_{13}}{a_{21}}{a_{32}}} \\
{ - {a_{31}}{a_{22}}{a_{13}} - {a_{32}}{a_{23}}{a_{11}}- {a_{33}}{a_{21}}{a_{12}}}
\end{array}.$


Сарусово правило

Вредност детерминанте трећег реда представља збир шест чланова. У том збиру три члана су са знаком $+$, а три са знаком $-$ . Сарусово правило омогућава да се лакше запамти како се могу добити чланови тог збира. Уз детерминанту која се израчунава допишу се прве две колоне те детерминанте

determinanta1

Позитивне чланове тог збира добијамо множењем елемената на главној дијагонали, затим множењем елемената на паралелама са том дијагоналом (елементи који се множе повезани су плавом стрелицом). Негативни чланови се добијају множењем елемената на споредној дијагонали, а затим множењем елемената на паралелама са том дијагоналом (елементи који се множе повезани су наранџастом стрелицом).

 

Минор и алгебарски комплемент

Минор елемената ${a_{ij}}$, у ознаци ${M_{ij}}$ , је дерминанта реда $n - 1$ квадратне матрице  $A = \left[ {{a_{ij}}} \right]$ реда $n$ која се добија изостављањем $i$-te врсте и $j$-te  колоне матрице $A$.

Алгебарски комплемент или кофактор елемента ${a_{ij}}$ је скалар ${A_{ij = }}{\left( { - 1} \right)^{i + j}}{M_{ij}}$.

 

Лапласова теорема

Ако је $A = \left[ {{a_{ij}}} \right]$ квадратна матрица реда $n$, онда је 

$\det A = {a_{i1}}{A_{i1}} + {a_{i2}}{A_{i2}} + ... + {a_{in}}{A_{in}},{\text{   }}i = 1,2,...,n;$

$\det A = {a_{1j}}{A_{1j}} + {a_{2j}}{A_{2j}} + ... + {a_{nj}}{A_{nj}},{\text{   }}j = 1,2,...,n;$

јер је 

${a_{i1}}{A_{k1}} + {a_{i2}}{A_{k2}} + ... + {a_{in}}{A_{kn}} = 0, \quad i \ne k,$

${a_{1j}}{A_{1k}} + {a_{2j}}{A_{2k}} + ... + {a_{nј}}{A_{nk}} = 0,{\text{   }}j \ne k.$

 

Особине детерминанте

  1. Детерминанта се не мења, ако се њене врсте замене колонама, не мењајући поредак, тј. 
    $$\det A = \det {A^\top}$$
  2. Ако две врсте (или колоне) детерминанте замене места, детерминанта мења знак.
  3. Детерминанта је једнака нули, ако су било које њене две врсте (или колоне) једнаке.
  4. Ако је сваки елемент $k$-te  врсте детерминанте $D$ $n$-tog реда приказан као збир два сабирка, тј.
    $${a_{kj}} = {b_{kj}} + {c_{kj}},{\text{    }}j = 1,2,...,n,$$
    Онда је детерминанта једнака збиру детерминанти ${D_1}$ и ${D_2}$ чије су све врсте, сем $k$-te, исте као као у детерминанти $D$, $k$-та врста детерминанте ${D_1}$ је ${b_{k1}},{b_{k2}},...,{b_{kn}}$, а детерминанте ${D_2}$ је ${c_{k1,}}{c_{k2}},...,{c_{kn}}$.
  5.  Минор ${M_{ij}}$ елемента ${a_{ij}}$ (који се налази у $i$-тој врсти и $j$-тој колони) детерминанте $D$ реда $n$, је детерминанта реда $n-1$ која се добија из $D$ изостављањем $i$-те врсте и $j$-те колоне.
  6. Алгебарски комплемент (или кофактор) ${A_{ij}}$ елемента ${a_{ij}}$ је минор ${M_{ij}}$ са знаком ${\left( { - 1} \right)^{i + j}}$, тј.
    $${A_{ij}} = {\left( { - 1} \right)^{i + j}}{M_{ij}}.$$
  7. Ако су сви елементи  $i$-те врсте детерминанте $D$ једнаки нули, сем елемената ${a_{ij}}$ који не мора бити једнак нули, онда је  
    $$D = {a_{ij}}{A_{ij}}.$$
  8.  Детерминанта је једнака збиру производа елемената једне врсте (или колоне) и његовихалгебарских комплемената, тј.
    $$D = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}{A_{ik}},\quad i = 1,2,...,n,}$$
    $$D = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kj}}{A_{kj}},\quad j = 1,2,...,n.}$$
  9. Детерминанта је једнка нули, ако су елементи једне њене врсте (или колоне) пропорционални елементима неке друге врсте (или колоне). 
  10. Детерминанта се не мења, ако се елементима једне њене врсте (или колоне) додају одговарајући елементи неке друге врсте (или колоне), предходно помножени неким бројем.
  11. Збир производа свих елемената неке врсте (или колоне) детерминанте и алгебарских комплемената одговарајућих елеманата неке друге врсте (или колоне) једнак је нули, тј.
    $$\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}{A_{jk}} = 0,\quad i \ne j,} $$
    $$\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{kj}}{A_{ki}} = 0,\quad j \ne i.} $$
  12. Ако се матрица $B$ добија из матрице $A$ тако што се једна произвољна врста матрице $A$ помножи константом $\alpha  \in \mathbb{K}$ онда је
    $$\det B = \alpha  \cdot \det A.$$
  13. Ако су $A$  и $B$  матрице истог реда, онда је
    $$\det AB = \det A \cdot \det B.$$