Линеарна алгебра

Инверзна матрица

Ако за квадратну матрицу $A$ постоји матрица ${A^{ - 1}}$, таква да је $A \cdot {A^{ - 1}} = {A^{ - 1}} \cdot A = E$, где је $E$  јединична матрица (на главној дијагонали има јединичне елементе а остало су нуле), онда се ${A^{ - 1}}$ назива инверзна матрица матрице $A$.

Матрица која има инверзну матрицу назива се регуларна, иначе је сингуларна.

Матрица $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{n \times n}}$ има инверзну матрицу ${A^{ - 1}}$, и то јединствену,  ако и само ако је $\det A = |A| \ne 0$. При томе је 

$${A^{ - 1}} = \frac{1}{{\det A}} \cdot {A^ * } = \frac{1}{{|A|}} \cdot {A^ * },$$

 

${A^ * } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_{11}}}&{{A_{21}}}& \cdots &{{A_{n1}}} \\
{{A_{12}}}&{{A_{22}}}& \cdots &{{A_{n2}}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{{A_{1n}}}&{{A_{2n}}}& \cdots &{{A_{nn}}}
\end{array}} \right],$

 

где је ${A_{ij}}$ кофактор елемената ${a_{ij}}$ матрице $A\left( {{{\left( {{A^ * }} \right)}^{\top}} = {{\left[ {{A_{ij}}} \right]}_{n \times n}}} \right)$.

Ако су $A$ и $B$ регуларне матрице истог реда, њихов производ $AB$ је регуларна матрица и важи:

$${\left( {AB} \right)^{ - 1}} = {B^{ - 1}}{A^{ - 1}}.$$

Ако је $A$ регуларна матрица, онда је 

$${\left( {{A^{ - 1}}} \right)^{ - 1}} = A, \quad \det {A^{ - 1}} = \frac{1}{{\det A}}.$$