Линеарна алгебра

Матрице

Матрица $A$ типа $m \times n$ над пољем $\mathbb{K}$ је правоугаона шема елемената из поља $\mathbb{K}$ која има $m$ врста и $n$ колона

 

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \cdots &{{a_{mn}}}
\end{array}} \right]$.

 

Елементи ${a_{ij}} \in \mathbb{K} \quad \left( {i = 1,2,...,m, \quad j = 1,2,...,n} \right)$ су елементи марице $A$ и пише се $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ или само $A = \left[ {{a_{ij}}} \right]$, ако је јасно ког је фомата матрица $A$. Елемент ${a_{ij}}$ налази се у $i$-тој врсти и $j$-тој колони матрице $A$.

Елементи ${a_{i1}},{a_{i2}},...,{a_{im}}$ образују $i$-ту врсту, а елементи ${a_{i1}},{a_{i2}},...,{a_{mj}}$ $j$-ту колону матрице $A$.

Матрица типа $n \times n$ назива се квадратна матрица реда $n$. Елементи ${a_{11}},{a_{22}},...,{a_{nn}}$ чине главну дијагоналу, а елементи ${a_{1n}},{a_{2\left( {n - 1} \right)}},...,{a_{n1}}$ споредну дијагоналу квадратне матрице реда $n$

 

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}}
\end{array}} \right]$.

 

Транспонована матрица

Транспонована матрица матртрице $A = \left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}$ је матрица ${A^\top} = {\left[ {{a_{ji}}} \right]_{n \times m}}$, односно ${A^\top}$ се добија када у матрици $A$ врсте постану колоне и обратно

 

${A^\top} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{21}}}& \cdots &{{a_{m1}}} \\
{{a_{12}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{m2}}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{{a_{1n}}}&{{a_{2n}}}& \cdots &{{a_{mn}}}
\end{array}} \right]$.

 

Особине операције транспоновања

  1. ${\left( {{A^\top}} \right)^\top} = A,$
  2. ${\left( {A + B} \right)^\top} = {A^\top} + {B^\top},$
  3. ${\left( {\alpha A} \right)^\top} = \alpha {A^\top},\quad \alpha  \in \mathbb{K}$
  4. ${\left( {AB} \right)^\top} = {B^\top}{A^\top},$
  5. $\left( {{A_1}{A_2}...{A_K}} \right)^\top = A_k^\top A_{k - 1}^\top...A_1^\top.$


Једнакост матрица

Матрице $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ и $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{p \times q}}$ су једнаке ако и само ако су истог типа, тј. $m = p$ и $n = q$ и ако

${a_{ij}} = {b_{ij}}, \quad i = 1,2,...,m; \quad j = 1,2,...,n.$


Нула матрице

Матрица чији су елементи 0 назива се нула матрица и означава се са $O$.

$O = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{0}& \cdots &{0} \\
{0}&{0}& \cdots &{0} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{0}&{0}& \cdots &{0}
\end{array}} \right]$

Јединична матрица

Квадратна матрица реда $n$ чији су сви елементи на главној дијагонали јединице, а остали нуле, назива се јединична матрица и означава се са ${E_n}$ или само $E$, ако је јасно ког је реда.

$E=E_n = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{1}&{0}& \cdots &{0} \\
{0}&{1}& \cdots &{0} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{0}&{0}& \cdots &{1}
\end{array}} \right]_{n \times n}$

Операције са матрицама

Сабирање матрица

Нека су матрице $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ и $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ истог типа. Збир  $A + B$  матрица $A$ и $B$ је матрица $C = {\left[ {{c_{ij}}} \right]_{m \times n}}$, таква да је 

${c_{ij}} = {a_{ij}} + {b_{ij}}, \quad i = 1,2,...,m, \quad j = 1,2,...,n.$

Нека је $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ матрица над пољем $\mathbb{K}$ и $s \in \mathbb{K}$. Производ скалара $s$ и матрице $A$ је матрица $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ таква да је

${b_{ij}} = s{a_{ij}}, \quad i = 1,2,...,m; \quad j = 1,2,...,n.$

Овај производ се означава са $sA$ или са $s \cdot A$.

Разлика матрица $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ и $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{m \times n}}$  је матрица $C = A + sB$ , где је $s =  - 1$, тј.

$C = A - B.$

 

Неке особине сабирања матрица

У скупу матрица истог типа над пољем $\mathbb{K}$ важи:

  1. $\quad A + O = O + A = A$,
  2. $\quad A + \left( {B + C} \right) = \left( {A + B} \right) + C$,
  3. $\quad A + \left( { - A} \right) = \left( { - A} \right) + A = O$,
  4. $\quad A + B = B + A$,
  5. $\quad s\left( {A + B} \right) = sA + sB,\quad s \in \mathbb{K}$,
  6. $\quad s\left( {tA} \right) = \left( {st} \right)A,\quad s,t \in \mathbb{K}$,
  7. $\quad 1 \cdot A = A$.

 

Множење матрица

Производ матрица $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ и $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{n \times p}}$  је матрица $C = {\left[ {{c_{ij}}} \right]_{m \times p}}$ , таква да је

 

$\begin{array}{*{20}{c}}
{ c_{ij} = {a_{i1}} \cdot {b_{1j}} + {a_{i2}} \cdot {b_{2j}} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {a_{in}} \cdot {b_{nj}}  } \\
{  \quad = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}{b_{kj}}}, \quad i = 1,2,...,m; \quad j = 1,2,...,p.  }
\end{array}.$

 

Производ матрица $A$ и $B$ означава се са $AB$.


Неке особине множења матрица

Под предпоставком да су наведени производи дефинисани, важи:

  1. $\quad A\left( {BC} \right) = \left( {AB} \right)C,$
  2. $\quad A\left( {B + C} \right) = AB + AC,$
  3. $\quad \left( {B + C} \right)A = BA + CA,$
  4. $\quad s\left( {AB} \right) = \left( {sA} \right)B = A\left( {sB} \right),$
  5. $\quad AE = EA = A.$

 

Субматрица матрице

Субматрица матрице $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ је матрица ${\left[ {{a_{{i_p}{j_q}}}} \right]_{r \times s}}, \quad 1 \leqslant r \leqslant m, \quad 1 \leqslant s \leqslant n,$  коју чине елементи ${a_{{i_p}{j_q}}}$ матрице $A$, који се налазе у пресеку $r$ врста $\left\{ {{i_1},{i_2},...,{i_r}} \right\}$ и $s$ колона $\left\{ {{j_1},{j_2},...,{j_s}} \right\}$ ове матрице, узети у индукованом распореду. Ако је $r = s$, субматрица је квадратна матрица реда $r$.