Нумерички и графички прикази функција

Степене функције

Линеарна функција

Линеарна функција је облика

$y = ax + b,{\text{   }}a \ne 0$

  1. Домен функције: $\mathbb{R}$.
  2. Парност функције: Ако је $b = 0$, функција је непарна.
  3. Нула функције: $x =  - \frac{b}{a}$.
  4. Знак функције: Ако је $a > 0$, онда је функција позитивна за $z >  - \frac{b}{a}$.
  5. Монотоност функције: За $a > 0$, функција је строго растућа, а за $a < 0$, строго опадајућа, на целом домену.

 

Квадратна функција

$y = a{x^2} + bx + c,{\text{   }}a \ne 0$

  1. Домен функције: $\mathbb{R}$
  2. Парност функције: Ако је $b = 0$, функција је парна.
  3. Нуле функције: У зависности од вредности дискриминанте $D = {b^2} - 4ac$, функција може имати две, једну или ниједну реалну нулу.
    $D > 0{\text{      }}{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$

    $D = 0{\text{       }}x = \frac{{ - b}}{{2a}}$

    $D < 0$   нема реалних нула
  4. Знак функције: Ако функција има две нуле, тада у њима мења знак. У супротном не мења знак.
  5. Екстремуми функције: За $a > 0$ функција има минимум, а за $a < 0$ максимум. Екстремна вредност је

    $y = \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}$

    и добија се за $x = \frac{{ - b}}{{2a}}$.
  6. Интеграли монотоности: $\left( { - \infty , - \frac{b}{{2a}}} \right)$ и $\left( { - \frac{b}{{2a}},\infty } \right)$.
    Ако је $a < 0$, онда је функција у првом интервалу строго растућа, а у другом строго опадајућа. Ако је $a > 0$, важи обрнуто.
  7. Конвексност и конкавност функције: Ако је $a > 0$, функција је конвексна, а ако је $a < 0$, онда је конкавна на целом домену.

 

Степена функција

$y = {x^\alpha },{\text{   }}\alpha  \in \mathbb{R}$

Случај $\alpha  = n,{\text{  }}n \in \mathbb{N}$:

  1. Домен функције: $\mathbb{R}$.
  2. Парност функције: Ако је $n$ паран број, функција је парна, а ако је $n$ непаран, функција је непарна.
  3. Нуле функције: $x = 0$.
  4. Знак функције: Ако је $n$ непаран број, функција је позитивна у скупу $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$. Ако је $n$ непаран број, функција је позитивна за $x > 0$, а негативна за $x < 0$.
  5. Екстремуми функције: Ако је $n$ паран број, функција има минимум у тачки $0$.
  6. Интервали монотоности функције: Ако је $n$ паран број, функција опада за $x < 0$ и расте за $x > 0$. Ако је $n$ непарно, функција расте на целом домену.
  7. Конкавност функције: Ако је $n$ паран број, функција је конвексна на целом домену. Ако је $n$ непаран број, функција је конкавна за $x < 0$ и конвексна за $x > 0$.

 

Случај $\alpha  =  - n,{\text{  }}n \in \mathbb{N}$

  1. Домен функције: $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.
  2. Парност функције: Ако је $n$ паран број, функција је парна, а ако је $n$ непаран, функција је непарна.
  3. Нуле функције: Нема.
  4. Знак функције: Ако је $n$ паран број, функција је позитивна у скупу $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$. Ако је $n$ непаран број, функција је позитивна за $x > 0$, а негативна за $x < 0$.
  5. Екстремуми функције: Нема.
  6. Интервали монотоности: Ако је $n$ паран број, функција расте за $x < 0$ и опада за $x > 0$. Ако је $n$ непарно, функција опада на целом домену.
  7. Конкавност функције: Ако је $n$ непаран број, функција је конкавна за $x > 0$.
  8. Асимптоте функције: Хоризинтална асимптота $y = 0$, и вертикална асимптота $x = 0$.