Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Експоненцијалне и логаритамске функције

Функција y=f(x)=ax, a>0, a≠0y = f\left( x \right) = {a^x},{\text{ }}a > 0,{\text{ }}a \ne 0, назива се експоненцијална функција. Експоненцијална функција има особину

f(x1)⋅f(x2)=f(x1+x2).f\left( {{x_1}} \right) \cdot f\left( {{x_2}} \right) = f\left( {{x_1} + {x_2}} \right).

Логаритамска функција је инверзна функција за експоненцијалну функцију. Она се обележава са y=log⁡αxy = {\log _\alpha }x.

Ако се узме да је α\alpha Ојлеров број ee. 

e=lim⁡n→∞(1+1n)n.e = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}.

добија се експоненцијална функција y=exy = {e^x}.

 

axa>1\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{a^x}} \\ {a > 1} \end{array}

axa∈(0,1)\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{a^x}} \\ {a \in \left( {0,1} \right)} \end{array}

log⁡axa>1\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{{\log }_a}x} \\ {a > 1} \end{array}

log⁡axa∈(0,1)\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{{\log }_a}x} \\ {a \in \left( {0,1} \right)} \end{array}

 Домен R\mathbb{R} R\mathbb{R} (0,∞)\left( {0,\infty } \right) (0,∞)\left( {0,\infty } \right)
 Кодомен (0,∞)\left( {0,\infty } \right) (0,∞)\left( {0,\infty } \right) R\mathbb{R} R\mathbb{R}
 Монотоност расте опада расте опада
 Нуле - - 11 11
 Тачка пресека са осом OyOy 11 11 - -
 lim⁡x→∞f(x)\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) ∞\infty 00 ∞\infty −∞-\infty
 lim⁡x→−∞f(x)\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) 00 ∞\infty - -

Експоненцијална функција y=axy = a^x, где је a>0a > 0 и a≠1a \ne 1, дефинисана је за свако x∈Rx \in \mathbb{R}, а вредности су јој увек позитивне. График пролази кроз тачку (0,1)(0, 1) и има асимптоту y=0y = 0. За a>1a > 1 функција расте, а за 0<a<10 < a < 1 опада. Важи ax1⋅ax2=ax1+x2a^{x_1} \cdot a^{x_2} = a^{x_1 + x_2}.

Логаритамска функција y=log⁡axy = \log_a x је њена инверзна функција: дефинисана је само за x>0x > 0, нула јој је x=1x = 1, а асимптота x=0x = 0. Графици функција axa^x и log⁡ax\log_a x симетрични су у односу на праву y=xy = x. Посебно важна основа је Ојлеров број e≈2,718e \approx 2{,}718. Најчешћа грешка је логаритам нуле или негативног броја, који не постоји.

−2−11234−2−112340xyaˣlogₐxPQ
2
1
aᵗ
2
logₐ(aᵗ)
1
Тачка QQ је огледална слика тачке PP у односу на праву y=xy = x, па увек лежи на графику логаритма: log⁡a(at)=t\log_a(a^t) = t. За a>1a > 1 обе функције расту, за 0<a<10 < a < 1 обе опадају, а за a=1a = 1 логаритам не постоји.

Експоненцијалном функцијом описују се раст уштеђевине са сложеном каматом, распад радиоактивних материја и опадање количине лека у крви, а логаритмом се из таквих формула израчунава време.

Лек у организму

Пацијент попије 400 mg лека. Организам за сваких 6 сати избаци половину лека који се у њему налази. Колико лека остаје после 18 сати и после колико сати у организму остаје 25 mg?

Решење

  1. Сваких 6 сати количина се преполови, па је m(t)=400⋅(12)t6m(t) = 400 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{6}}. Основа 12\frac{1}{2} је мања од 1, па функција опада.
  2. После 18 сати: m(18)=400⋅(12)3=50m(18) = 400 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 50 mg.
  3. За 25 mg решавамо (12)t6=25400=116\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{6}} = \frac{25}{400} = \frac{1}{16}.
  4. Логаритмовањем добијамо t6=log⁡12116=4\frac{t}{6} = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = 4, па је t=24t = 24 h.

Одговор: После 18 сати у организму има још 50 mg лека, а на 25 mg количина падне после 24 сата.

Задатак за вежбу

Нови аутомобил кошта 1.500.000 динара, а његова вредност сваке године опадне за 15%. Колико вреди после 3 године и после колико целих година први пут вреди мање од половине почетне цене?

Прикажи решење

V(t)=1 500 000⋅0,85tV(t) = 1\,500\,000 \cdot 0{,}85^t, па је V(3)≈921 188V(3) \approx 921\,188 динара. Из 0,85t<0,50{,}85^t < 0{,}5 следи t>log⁡0,850,5≈4,27t > \log_{0{,}85} 0{,}5 \approx 4{,}27, дакле после 5 година.