Аналитичка геометрија у простору

Једначина праве

Векторски облик

Вектор положаја $\overrightarrow r $ произвољне тачке $M$ праве која пролази кроз тачку ${M_1}$ и паралелна је вектору $\overrightarrow a  \ne 0$, задовољава једначину

$\overrightarrow r  = \overrightarrow {{r_1}}  + \lambda \overrightarrow a $

где је $\overrightarrow {{r_1}}  = {x_1}\overrightarrow i  + {y_1}\overrightarrow j  + {z_1}\overrightarrow k $ вектор положаја тачке ${M_1}$, a $\lambda  \in \mathbb{R}$.

vektorski oblik jednacine prave

Параметарски облик

Једначина праве која пролази кроз тачку ${M_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)$ и паралелна је вектору $\overrightarrow a  \ne 0$, чије су координате $\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)$, може се представити системом од три једначине

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = {x_1} + \lambda {a_1}} \\
{y = {y_1} + \lambda {a_2}} \\
{z = {z_1} + \lambda {a_3}}
\end{array}} \right.,{\text{ }}\lambda \in \mathbb{R}$.

Канонички облик

Једначина праве која пролази кроз тачку ${M_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)$ и паралелна је вектору $\overrightarrow a  \ne 0$, чије су координате $\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)$, може се записати као

$$\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{a_3}}}, \quad {a_1} \ne 0,{\text{ }}{a_2} \ne 0,{\text{ }}{{\text{a}}_3} \ne 0,$$

$$\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{a_2}}}, \quad z-z_1=0, \quad {a_1} \ne 0,{\text{ }}{a_2} \ne 0,{\text{ }}{a_3} = 0,$$

$$\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}}, \quad y-y_1=0, \quad z-z_1=0, \quad {a_1} \ne 0,{\text{ }}{a_2} = 0,{\text{ }}{a_3} = 0.$$

 

Једначина праве која пролази кроз две тачке 

Права која пролази кроз тачке ${M_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)$ и ${M_2}\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)$ има

  1. векторску једначину 
    $\overrightarrow r  = \left( {{x_1}\overrightarrow i  + {y_1}\overrightarrow j  + {z_1}\overrightarrow k } \right) + \lambda \left( {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\overrightarrow i  + \left( {{y_2} - {y_1}} \right)\overrightarrow j  + \left( {{z_2} - {z_1}} \right)\overrightarrow k } \right)$, $\lambda  \in \mathbb{R}$
  2. параметарске једначине

    $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
    {x = {x_1} + \lambda {(x_1-x_2)}} \\
    {y = {y_1} + \lambda {(y_1-y_2)}} \\
    {z = {z_1} + \lambda {(z_1-z_2)}}
    \end{array}} \right., \quad \lambda \in \mathbb{R}$.

  3. каноничке једначине
    $$\frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{z_2} - {z_1}}}$$

Растојање тачке од праве

  1. Растојање $d$ тачке ${M_0}$ чији је вектор положаја $\overrightarrow {{r_0}} $, од праве $\overrightarrow r  = \overrightarrow {{r_1}}  + \lambda \overrightarrow a $, израчунава се по формули
    $$d = \left| {\frac{{\left( {\overrightarrow {{r_0}}  - \overrightarrow {{r_{_1}}} } \right) \times \overrightarrow a }}{{\left| \overrightarrow a \right|}}} \right|.$$
  2. Растојање $d$ тачке ${M_2}$ од праве
    $$\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{a_3}}}$$

израчунава се по формули

$$d = \frac{{\sqrt {{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_2} - {y_1}} \\
{{a_2}}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{{z_2} - {z_1}} \\
{{a_3}}
\end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{z_2} - {z_1}} \\
{{a_3}}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_2} - {x_1}} \\
{{a_1}}
\end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_2} - {x_1}} \\
{{a_1}}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_2} - {y_1}} \\
{{a_2}}
\end{array}} \right|}^2}} }}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} }}.$$

Угао између две праве

Угао између две праве једнак је углу између њихових вектора праваца. 

  1. Ако су праве дате једначинама 
    $\overrightarrow r  = \overrightarrow {{r_1}}  + \lambda \overrightarrow a $  и  $\overrightarrow r  = \overrightarrow {{r_2}}  + \lambda \overrightarrow b $.
    онда се угао имеђу њих израчунава по формули
    $$\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}.$$
  2. Ако су праве дате једначинама
    $$\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{a_3}}}$$
    и
    $$\frac{{x - {x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y - {y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z - {z_2}}}{{{b_3}}},$$
    онда се угао између њих рачуна по формули
    $$\cos \alpha  = \left| {\frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} }}} \right|.$$

Растојање две праве

  1. Растојање $d$ непаралелних правих 
    $\overrightarrow r  = \overrightarrow {{r_1}}  + \lambda \overrightarrow a $  и  $\overrightarrow r  = \overrightarrow {{r_2}}  + \lambda \overrightarrow b $
    дато је са
    $$d = \frac{{\left| {\left( {\overrightarrow {{r_2}}  - \overrightarrow {{r_1}} } \right)\left( {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right)} \right|}}{{\left| {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right|}}.$$
  2. Ако су непаралелне праве дате једначинама
    $$\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{a_3}}}$$
    и
    $$\frac{{x - {x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y - {y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z - {z_2}}}{{{b_3}}},$$
    онда је растојање између њих одређено формулом

    $$d = \left| {\frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}&{{z_2} - {z_1}} \\
    {{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}} \\
    {{b_1}}&{{b_2}}&{{b_3}}
    \end{array}} \right|}}{{\sqrt {{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{a_2}}&{{a_3}} \\
    {{b_2}}&{{b_3}}
    \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{a_3}}&{{a_1}} \\
    {{b_3}}&{{b_1}}
    \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
    {{a_1}}&{{a_2}} \\
    {{b_1}}&{{b_2}}
    \end{array}} \right|}^2}} }}} \right|.$$