Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Усмерене дужи

Усмерена дуж је уређен пар тачака. Прва тачка пара је почетак, а друга крај усмерене дужи.

Усмерене дужи AB→\overrightarrow {AB} и CD→\overrightarrow {CD} су једнаке (пише се AB→=CD→\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}) ако су праве ABAB и CDCD паралелне, полуправе ABAB и CDCD исто усмерене и дужи ABAB и CDCD подударне.

Једнакост усмерених дужи је релација еквиваленције у скупу свих усмерених дужи.

Дуж чији се почетак и крај поклапају има дужину 00.

Усмерена дуж је уређен пар тачака: прва тачка је почетак, друга крај. Зато AB→\overrightarrow{AB} и BA→\overrightarrow{BA} нису исто, иако је дуж иста.

Две усмерене дужи AB→\overrightarrow{AB} и CD→\overrightarrow{CD} су једнаке ако истовремено важи: праве ABAB и CDCD су паралелне (или се поклапају), полуправе ABAB и CDCD су исто усмерене и дужи ABAB и CDCD су подударне. Тада је ABDCABDC паралелограм (ако тачке нису на једној правој). У координатама је провера најбржа: AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} ако и само ако је xB−xA=xD−xCx_B - x_A = x_D - x_C и исто за yy и zz. Ова једнакост је релација еквиваленције, а њене класе су вектори. Честа грешка је да се провери само дужина: дужи исте дужине, а супротног смера нису једнаке.

ABCD
|AB|
5
|CD|
4,47
Угао између AB и CD
10°
Усмерене дужи AB→\overrightarrow{AB} и CD→\overrightarrow{CD} су једнаке кад су исте дужине, а угао између њих је 0∘0^\circ: тада је ABDCABDC паралелограм. Померите DD на супротну страну од CC и угао постаје 180∘180^\circ, иако дужина остаје иста.

Транслација, померање предмета без окретања, помера сваку његову тачку за исту усмерену дуж. Тако програми за пројектовање и видео игре померају цео објекат: померај једне тачке додају свим осталим.

Контејнер на дизалици

Дизалица у луци помера контејнер не окрећући га. Координатни систем је на тлу, оса zz иде навише, јединица је метар. Један доњи угао контејнера из тачке A(2,1,0)A(2, 1, 0) стиже у тачку B(6,4,5)B(6, 4, 5). Други доњи угао био је у тачки C(8,1,0)C(8, 1, 0). Где је он после померања и колико је сваки угао удаљен од свог почетног положаја?

Решење

  1. Без окретања се сваки угао помери за исту усмерену дуж, па тражимо тачку DD за коју је CD→=AB→\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.
  2. Померај тачке AA по осама: 6−2=46 - 2 = 4, 4−1=34 - 1 = 3 и 5−0=55 - 0 = 5.
  3. Исти померај додајемо тачки CC: D(8+4,1+3,0+5)=D(12,4,5)D(8 + 4, 1 + 3, 0 + 5) = D(12, 4, 5).
  4. Провера: AC→=BD→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}, јер оба имају координатне разлике (6,0,0)(6, 0, 0), па је ABDCABDC паралелограм.
  5. Растојање од почетног положаја: ∣AB∣=∣CD∣=42+32+52=50≈7,07|AB| = |CD| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7{,}07 m.

Одговор: Други угао стиже у тачку D(12,4,5)D(12, 4, 5), а сваки угао контејнера завршио је око 7,07 m од свог почетног положаја.

Задатак за вежбу

Дате су тачке A(1,0,2)A(1, 0, 2), B(3,5,1)B(3, 5, 1), C(−2,4,0)C(-2, 4, 0) и D(0,9,−1)D(0, 9, -1). Да ли је AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}? Да ли је AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}?

Прикажи решење

Померај од AA до BB је (2,5,−1)(2, 5, -1), а од CC до DD такође (2,5,−1)(2, 5, -1), па је AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}. Од DD до CC померај је (−2,−5,1)(-2, -5, 1): исти правац и дужина, али супротан смер, па AB→≠DC→\overrightarrow{AB} \ne \overrightarrow{DC}.