Тачка

Растојање две тачке

Растојање $d$ између тачака ${M_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)$ и ${M_2}\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)$ једнако је интензитету вектора $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {{x_2} - {x_1},{y_2} - {y_1},{z_2} - {z_1}} \right)$

$d = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}}$ .

Подела дужи у датој размери

Нека су ${M_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)$ и ${M_2}\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)$ две тачке праве $p$ .

Координате тачке $M\left( {x,y,z} \right)$ која дели дуж ${M_1}{M_2}$ у размери ${M_1}M:M{M_2} = m:n = \lambda :1$ , одређене су формулом

$x = \frac{{m{x_2} + n{x_1}}}{{m + n}} = \frac{{{x_1} + \lambda {x_2}}}{{1 + \lambda }}$ ,

$y = \frac{{m{y_2} + n{y_1}}}{{m + n}} = \frac{{{y_1} + \lambda {y_2}}}{{1 + \lambda }}$ ,

$z = \frac{{m{z_2} + n{z_1}}}{{m + n}} = \frac{{{z_1} + \lambda {z_2}}}{{1 + \lambda }}$ .

За $\lambda = 1$ тачка $M\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2},{\text{ }}\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2},{\text{ }}\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right)$ је средиште дужи ${M_1}{M_2}$ .

Растојање тачака $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$ једнако је интензитету вектора $\overrightarrow{M_1M_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ , тј. $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$ . То је Питагорина теорема примењена два пута: формула из равни само добија трећи сабирак. Редослед тачака није важан, јер се разлике квадрирају.

Тачка $M$ која дели дуж $M_1M_2$ у размери $M_1M : MM_2 = m : n$ има координате $x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$ , и исто за $y$ и $z$ . Са $\lambda = \frac{m}{n}$ иста формула гласи $x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$ . За $m = n$ добијате средиште $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$ . Пазите: $m$ множи координате другог краја, $M_2$ , а не првог. Резултат лако проверите: растојања $|M_1M|$ и $|MM_2|$ морају бити у размери $m : n$ .

|AB|: 42 m
|AM|: 14 m
|MB|: 28 m
Висина камере: 18 m

Мењајте

m

n

: тачка

M

клизи по путањи камере из примера тако да је

|AM| : |MB| = m : n

, а јединица на осама је 6 m. За

m = n

камера је тачно на средини.

Навигациони уређаји и контрола лета рачунају растојање у простору из три координате. Подела дужи у размери даје тежиште два тела: оно дели дуж између њих обрнуто сразмерно њиховим масама.

Камера на сајлама

Над спортским тереном у Нишу камера на сајлама креће се праволинијски од тачке $A(0, 0, 24)$ до тачке $B(36, 12, 6)$ ; координате су у метрима, а оса $z$ иде навише. Колико је дугачак пут камере? Где је камера кад пређе трећину пута, тј. кад је $AM : MB = 1 : 2$ , и на којој је висини?

Решење

Дужина пута: $|AB| = \sqrt{36^2 + 12^2 + (6 - 24)^2} = \sqrt{1296 + 144 + 324} = \sqrt{1764} = 42$ m.
Размера је $m : n = 1 : 2$ , па је $x = \frac{1 \cdot 36 + 2 \cdot 0}{3} = 12$ и $y = \frac{1 \cdot 12 + 2 \cdot 0}{3} = 4$ .
Висина: $z = \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot 24}{3} = \frac{54}{3} = 18$ , па је камера у тачки $M(12, 4, 18)$ .
Провера: $|AM| = \sqrt{12^2 + 4^2 + (18 - 24)^2} = \sqrt{196} = 14$ m, што је тачно трећина од 42 m.

Одговор: Пут камере је дугачак 42 m, а после трећине пута камера је у тачки $M(12, 4, 18)$ , на висини од 18 m.

Задатак за вежбу

Дате су тачке $A(1, -2, 3)$ и $B(7, 4, -3)$ . Израчунајте $|AB|$ и координате тачке $M$ за коју је $AM : MB = 2 : 1$ .

Прикажи решење

$|AB| = \sqrt{6^2 + 6^2 + (-6)^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39$ . Са $m = 2$ и $n = 1$ : $x = \frac{2 \cdot 7 + 1}{3} = 5$ , $y = \frac{2 \cdot 4 - 2}{3} = 2$ , $z = \frac{2 \cdot (-3) + 3}{3} = -1$ , па је $M(5, 2, -1)$ .