Вектори

Вектор је класа еквиваленције по реализацији $=$ у скупу свих усмерених дужи.

Вектори се означавају словима латинице са стрелицом изнад: $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,...,\overrightarrow x ,...$. Ако различите усмерене дужи $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {XY} ,...$ припадају истом вектору $\overrightarrow a$ (тј. истој класи еквиваленције по релацији $=$ у скупу свих усмерених дужи) пише се:

$\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {XY} = .....$

Класа дужи чији се почетак и крај поклапају назива се нула-вектор и обележава са: $\overrightarrow {0,} {\quad}\overrightarrow {AA} ,{\quad}\overrightarrow {BB,}$ итд.

Дужина (модул, интензитет) вектора $\overrightarrow a = \overrightarrow {AB}$ је растојање $\left| {AB} \right|$ и означава се са $\left| {\overrightarrow {AB} } \right|$ или $\left| {\overrightarrow a } \right|$.

Правац вектора $\overrightarrow a = \overrightarrow {AB}$ је правац одређен правом $AB$. 

Смер вектора $\overrightarrow a = \overrightarrow {AB}$ је смер полуправе $AB$.

Нула–вектор има дужину 0 и нема ни правац ни смер.

Јединични (орт) вектор је вектор дужине 1. Јединични вектор који има правац и смер вектора $\overrightarrow a$ означава се са $\overrightarrow {{a_0}}$. Јединични вектор који има правац и смер вектора $\overrightarrow {AB}$, означава се са ${\left( {\overrightarrow {AB} } \right)_0}$.

Колинеарни вектори

Вектори истог правца називају се колинеарни вектори. Нула-вектор је колинеарни са сваким вектором. 

Сабирање и одузимање вектора

Правило троугла

Нека су $O$, $A$ и $B$ три произвољне тачке у простору. Вектор $\overrightarrow {OB}$ је збир вектора $\overrightarrow {OA}$ и $\overrightarrow {AB}$, што се обележава са $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB}$.

Нека су дати вектори $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ и нека је $O$ произвољна тачка. Ако се тачка $A$ одреди тако да је $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a$ и тачка $B$ тако да је $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b$, онда је збир вектора $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$, за који је $\overrightarrow c = \overrightarrow {OB}$.

Правило паралелограма

Нека су дати вектори $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ и нека је $O$ произвољна тачка. Ако се тачка $A$ одреди тако да је $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a$, тачка $B$ тако да је $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b$, а тачка $C$ тако да је пресечна тачка праве кроз тачку $A$ која је паралелна са правом $OB$ и праве кроз тачку $B$ која је паралелна са правом $OA$, онда је збир вектора $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ вектор $\overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b$, за који је $\overrightarrow c = \overrightarrow {OC}$.

Вектори $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ су компоненте, а вектор $\overrightarrow c$ је резултанта.

Супротни вектори

Два вектора која имају исте правце, једнаке дужине и супротне смерове су супротни вектори.
Вектор супротан вектору $\overrightarrow a$ означава се са $- \overrightarrow a$, а вектор супротан вектору $\overrightarrow {AB}$ са $\overrightarrow {BA}$.

Нула-вектор је супротан самом себи, тј. $\overrightarrow 0 = - \overrightarrow 0$.

За супротне векторе важи:

$\overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow a } \right) = \overrightarrow 0 ,\quad \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} = 0,\quad - \left( { - \overrightarrow a } \right) = \overrightarrow a .$

Особине сабирања вектора

Нека је $\mathbb{V}$ скуп свих вектора. За произвољне векторе $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$ и $\overrightarrow c$ из $\mathbb{V}$ важне особине:

1. затвореност: $\overrightarrow a + \overrightarrow b \in \mathbb{V}$,
2. асоцијативност: $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$,
3. постојање неутралног елемента: $\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 + \overrightarrow a = \overrightarrow a$,
4. постојање инверзног елемента: $\overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow a } \right) = \left( { - \overrightarrow a } \right) + \overrightarrow a = \overrightarrow 0$,
5. комутативност: $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a$.

Одузимање вектора

Разлика вектора $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ је вектор $\overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow b } \right)$ и означава се са $\overrightarrow a - \overrightarrow {b}$.

Множење вектора

Производ скалара $p \in \mathbb{R}$ и вектора $\overrightarrow a$ је вектор који има правац вектора $\overrightarrow a$ , дужину $\left| p \right|\left| {\overrightarrow a } \right|$ и исти смер као вектор $\overrightarrow a$ ако је $p > 0$, а супротан ако је $p < 0$. Ако је $p = 0$ или $\overrightarrow a = 0$, производ скалара $p$ и вектора $\overrightarrow a$ је нула-вектор.

Производ скалара $p \in \mathbb{R}$ и вектора $\overrightarrow a$ означава се са $p\overrightarrow a$ или $\overrightarrow a p$. Дужина вектора $p\overrightarrow a$ је $\left| p \right|\left| {\overrightarrow a } \right|$, при чему је $\left| p \right|$ апсолутна вредност реалног броја $p$, а $\left| {\overrightarrow a } \right|$ је дужина вектора $\overrightarrow a$.

Особине множења скаларом

За свако $p,q \in \mathbb{R}$ и свако $a,b \in \mathbb{V}$ важи:

1. затвореност: $p \overrightarrow a \in \mathbb{V}$,
2. неутрални елементи: $1 \overrightarrow a = \overrightarrow a$,
3. асоцијативност: $p\left( {q\overrightarrow a } \right) = \left( {pq} \right)\overrightarrow a$,
4. дистрибутивност множења према сабирању скалара: $\left( {p + q} \right)\overrightarrow a = p\overrightarrow a + q\overrightarrow a$, 
5. дистрибутивност множења према сабирању вектора: $p\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = p\overrightarrow a + p\overrightarrow b$.

Количник вектора и скалара

Количник вектора $\overrightarrow a$ и скалара $p \ne 0$ је вектор једнак производу реципрочне вредности $\frac{1}{p}$ скалара $p$ и вектора $\overrightarrow a$, тј.

$\frac{{\overrightarrow a }}{p} = \frac{1}{p}\overrightarrow a$.

Ако је $\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0$, онда је: 

 $\frac{{\overrightarrow a }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \overrightarrow {{a_0}} , \quad \overrightarrow a = \left| {\overrightarrow a } \right|\overrightarrow {{a_0}}$

 где је $\overrightarrow {{a_0}}$ јединични вектор који има правац и смер вектора $\overrightarrow a$. 

Линеарна комбинација вектора

Вектор

$\overrightarrow s = {p_1}\overrightarrow {{a_1}} + {p_2}\overrightarrow {{a_2}} + \cdot \cdot \cdot + {p_k}\overrightarrow {{a_k}} , \quad {p_i} \in \mathbb{R}, \quad \overrightarrow {{a_i}} \in \mathbb{V}, \quad i = 1,2,.....,k,$

назива се линеарна комбинација вектора $\overrightarrow {{a_i}} \in V$, $i = 1,2,....,k$.

Вектори $\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,...{\text{ }},\overrightarrow {{a_k}}$ су линеарно зависни, ако постоје скалари ${p_1},{p_2},....,{p_k}$, од којих је бар један различит од нуле, такви да је:

${p_1}\overrightarrow {{a_1}} + {p_2}\overrightarrow {{a_2}} + \cdot \cdot \cdot + {p_k}\overrightarrow {{a_k}} = \overrightarrow 0$.

Вектори $\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,...{\text{ }},\overrightarrow {{a_k}}$ су линеарно независни, ако нису линеарно зависни.

Интензитет и орт вектора

Ако је $\overrightarrow a = {a_x}\overrightarrow i + {a_y}\overrightarrow j + {a_x}\overrightarrow k$, онда је интензитет вектора $\overrightarrow a$.

$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = a$,

а орт вектора $\overrightarrow a$ је

$\overrightarrow {{a_0}} = \frac{1}{a} \cdot \overrightarrow a = \frac{{{a_x}}}{a}\overrightarrow i + \frac{{{a_y}}}{a}\overrightarrow j + a\frac{{{a_x}}}{a}\overrightarrow k$,

или

$\overrightarrow {{a_0}} = \cos \alpha \overrightarrow i + \cos \beta \overrightarrow j + \cos \gamma \overrightarrow k$

где су $\alpha ,\beta ,\gamma$ углови које вектор $\overrightarrow a$ гради редом са координатним осама $x,y,z$.

Скаларни призвод

Скаларни производ вектора $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ је скалар

$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

Особине скаларног производа

Ако су $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \in \mathbb{V}$ и $\lambda \in \mathbb{R}$, онда важи:

1. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a$,
2. $\lambda \left( {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right) = \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow b$,
3. $\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c$,
4. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a = {\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}$.

5. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0$ ако и само ако су вектори $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ узајамно ортогонални ($a \bot b$)

Израчунавање скаларног производа помоћу координата

Ако је $\overrightarrow a = {a_x}\overrightarrow i + {a_y}\overrightarrow j + {a_z}\overrightarrow k$ и $\overrightarrow b = {b_x}\overrightarrow i + {b_y}\overrightarrow j + {b_z}\overrightarrow {k}$, онда је:

$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} + {a_z}{b_z}$.

Угао између два вектора

Ако је $\overrightarrow a = {a_x}\overrightarrow i + {a_y}\overrightarrow j + {a_z}\overrightarrow k$ и $\overrightarrow b = {b_x}\overrightarrow i + {b_y}\overrightarrow j + {b_z}\overrightarrow {k}$, онда је

$$\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}},$$

$$\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{{a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} + {a_z}{b_z}}}{{\sqrt {a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt {b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} }}.$$

Векторски производ вектора

Векторски производ вектора $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ је вектор $\overrightarrow c = \overrightarrow a \times \overrightarrow b$, који има интензитет једнак површини паралелограма конструисаног над векторима $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$, правац нормалан на раван овог паралелограма, а смер такав да је триедар $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right)$ десни (а то значи да ротација вектора $\overrightarrow a$ ка вектору $\overrightarrow b$, у смеру супротном кретању казаљке на часовнику, има најкраћи пут, гледано са завршне тачке вектора $\overrightarrow a \times \overrightarrow b$).

Особине векторског производа

Ако је $\overrightarrow a ,\overrightarrow b \in \mathbb{V}$ и $\lambda \in \mathbb{R}$, онда важи:

1. $\left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\sin \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$,
2. $\left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow a = 0,{\text{ }}\left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow b = 0$,
3. $\overrightarrow a \times \overrightarrow b = - \overrightarrow b \times \overrightarrow a$,
4. $\lambda \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) = \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) \times \overrightarrow b$,
5. $\overrightarrow a \times \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) + \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow c } \right)$,
6. $\overrightarrow a \times \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) = 0$.

Израчунавање векторског производа помоћу координата

За $\overrightarrow a = {a_x}\overrightarrow i + {a_y}\overrightarrow j + {a_z}\overrightarrow k$ и $\overrightarrow b = {b_x}\overrightarrow i + {b_y}\overrightarrow j + {b_z}\overrightarrow {k}$ је

$\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\overrightarrow i }&{\overrightarrow j }&{\overrightarrow k } \\ {{a_x}}&{{a_y}}&{{a_z}} \\ {{b_x}}&{{b_y}}&{{b_z}} \end{array}} \right|$.

Мешовити векторски производ

Мешовити производ $\left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow c$ три некомпланарна вектора $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$ и $\overrightarrow c$ је скалар, чија је апсолутна вредност једнака запремини паралелопипеда конструисаног над векторима $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$ и $\overrightarrow c$.

Знак мешовитог производа је позитиван , ако су системи $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right)$ и $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right)$ исте оријентације, а негативан ако су супротне.

Израчунавање мешовитог производа помоћу координата

Ако је $\overrightarrow a = {a_x}\overrightarrow i + {a_y}\overrightarrow j + {a_z}\overrightarrow k$, $\overrightarrow b = {b_x}\overrightarrow i + {b_y}\overrightarrow j + {b_z}\overrightarrow k$ и $\overrightarrow c = {c_x}\overrightarrow i + {c_y}\overrightarrow j + {c_z}\overrightarrow k$, онда је

$\left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow c = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{a_x}}&{{a_y}}&{{a_z}} \\ {{b_x}}&{{b_y}}&{{b_z}} \\ {{c_x}}&{{c_y}}&{{c_z}} \end{array}} \right|$.