Аналитичка геометрија у простору

Раван

Једначина равни

jednacina ravni 

Ако је $\overrightarrow {{r_1}}  = {x_1}\overrightarrow i  + {y_1}\overrightarrow j  + {z_1}\overrightarrow k $ вектор положаја тачке ${M_1}$,  $\overrightarrow r  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k $ вектор положаја тачке $M$ равни $\alpha$, која садржи тачку ${M_1}$ и нормална је на вектор $\overrightarrow n  = A\overrightarrow i  + B\overrightarrow j  + C\overrightarrow k $, онда једначина равни $\alpha$ има облике:

  1. $\overrightarrow n  \cdot \left( {\overrightarrow r  - \overrightarrow {{r_1}} } \right) = 0$,
  2. $\overrightarrow n  \cdot \overrightarrow r  + D = 0, \quad D =  - \overrightarrow n  \cdot \overrightarrow {{r_1}} $,
  3. $A\left( {x - {x_1}} \right) + B\left( {y - {y_1}} \right) + C\left( {z - {z_1}} \right) = 0$,
  4. $Ax + By + Cz + D = 0$.

Нормални облик

Једначина равни нормална на јединични вектор

$\overrightarrow {{n_0}}  = \cos \alpha  \cdot \overrightarrow i  + \cos \beta  \cdot \overrightarrow j  + \cos \gamma  \cdot \overrightarrow k $,

на растојању $p$ од координатног почетка, је

$\overrightarrow r  \cdot \overrightarrow {{n_0}}  - p = 0$,

или

$x\cos \alpha  + y\cos \beta  + z\cos \gamma  - p = 0$.

Сегментни облик

Нека је раван $\alpha$ дата једначином $Ax + By + Cz + D = 0$. Величине

$$a =  - \frac{D}{A}, \quad b =  - \frac{D}{B}, \quad c =  - \frac{D}{C}$$

 називају се одсечци (сегменти) равни $R$ на осама $x$, $y$ и $z$, редом.

Ако се коефицијенти $A$, $B$, $C$ изразе помоћу $D$, $a$, $b$ и $c$, а потом добијена једнакост подели са $D\left( {D \ne 0} \right)$, добија се једначина равни $\alpha$ у сегментном облику

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

segmentni oblik jednacine ravni

Растојање тачке од равни

Растојање $d$ тачке ${M_0}$, чији је вектор положаја $\overrightarrow {{r_0}}  = {x_0}\overrightarrow i  + {y_0}\overrightarrow j  + {z_0}\overrightarrow k $, од равни$\overrightarrow r  \cdot \overrightarrow n  + D = 0$ или $Ax + By + Cz + D = 0$, дато је са

$$d = \frac{{\left| {\overrightarrow {{r_0}}  \cdot \overrightarrow n  + D} \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}$$ или $$d = \left| {\frac{{A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}} \right|.$$

Угао између две равни

Угао између две равни једнак је углу између њихових нормалних вектора.

  1. Ако су две равни задате њиховим векторским једначинама
    $\overrightarrow r  \cdot \overrightarrow {{n_1}}  + {D_1} = 0,{\text{   }}\overrightarrow r  \cdot \overrightarrow {{n_2}}  + {D_2} = 0$
    онда је угао између те две равни
    $$\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}.$$
  2. Ако су једначине равни дате са
    ${A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0$, ${A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0$
    Онда је угао између те две равни 
    $$\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \left| {\frac{{{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}} \right|$$

Угао између праве и равни

Угао између праве и равни је оштар или прав угао који граде права и њена нормална пројекција на ту раван.

  1. Угао $\alpha $ између праве $\overrightarrow r  = \overrightarrow {{r_1}}  + \lambda a$ и равни $\overrightarrow r  \cdot \overrightarrow n  + D = 0$ дат је формулом
    $$\sin \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow n  \cdot \overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow a } \right|}}$$
  2. Угао између праве 
    $$\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{a_3}}}$$
    и равни 
    $$Ax + By + {C_z} + D = 0$$
    Одређен је формулом
    $$\sin \alpha  = \left| {\frac{{A{a_1} + B{a_2} + C{a_3}}}{{\sqrt {A_{}^2 + B_{}^2 + C_{}^2} \sqrt {A_1^2 + B_2^2 + C_3^2} }}} \right|.$$

Прамен равни

Прамен равни је скуп свих равни које пролазе кроз пресечну праву двеју равни.

Ако су једначине тих равни 

$\alpha :{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0$

и

$\beta :{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0,$

онда је једначина било које равни прамена, сем равни $\beta $, дата са

${A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} + \lambda \left( {{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2}} \right) = 0,$

где је $\lambda  \in \mathbb{R}$ произвољан параметар.