Аналитичка геометрија у простору

Вектори

Вектор је класа еквиваленције по реализацији $=$ у скупу свих усмерених дужи.

Вектори се означавају словима латинице са стрелицом изнад: $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,...,\overrightarrow x ,...$. Ако различите усмерене дужи $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {XY} ,...$ припадају истом вектору $\overrightarrow a $ (тј. истој класи еквиваленције по релацији $=$ у скупу свих усмерених дужи) пише се:

$\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {XY}  = .....$

Класа дужи чији се почетак и крај поклапају назива се нула-вектор и обележава са: $\overrightarrow {0,} {\quad}\overrightarrow {AA} ,{\quad}\overrightarrow {BB,} $ итд.

Дужина (модул, интензитет) вектора $\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB} $ је растојање $\left| {AB} \right|$ и означава се са $\left| {\overrightarrow {AB} } \right|$ или $\left| {\overrightarrow a } \right|$.

Правац вектора $\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB} $ је правац одређен правом $AB$. 

Смер вектора $\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB} $ је смер полуправе $AB$.

Нула–вектор има дужину 0 и нема ни правац ни смер.

Јединични (орт) вектор је вектор дужине 1. Јединични вектор који има правац и смер вектора $\overrightarrow a $ означава се са $\overrightarrow {{a_0}} $. Јединични вектор који има правац и смер вектора $\overrightarrow {AB} $, означава се са ${\left( {\overrightarrow {AB} } \right)_0}$.

Колинеарни вектори 

Вектори истог правца називају се колинеарни векториНула-вектор је колинеарни са сваким вектором. 

Сабирање и одузимање вектора

Правило троугла

Нека су $O$, $A$ и $B$ три произвољне тачке у простору. Вектор $\overrightarrow {OB} $ је збир вектора $\overrightarrow {OA} $ и $\overrightarrow {AB} $, што се обележава са $\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AB} $.

sabiranje vektora

Нека су дати вектори $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ и нека је $O$ произвољна тачка. Ако се тачка $A$ одреди тако да је $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a $ и тачка $B$ тако да је $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b $, онда је збир вектора $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $, за који је $\overrightarrow c  = \overrightarrow {OB}$.

Правило паралелограма

Нека су дати вектори $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ и нека је $O$ произвољна тачка. Ако се тачка $A$ одреди тако да је $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a $, тачка $B$ тако да је $\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b$, а тачка $C$ тако да је пресечна тачка праве кроз тачку $A$ која је паралелна са правом $OB$ и праве кроз тачку $B$ која је паралелна са правом $OA$, онда је збир вектора $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ вектор $\overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b $, за који је $\overrightarrow c  = \overrightarrow {OC} $.

Вектори $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ су компоненте, а вектор $\overrightarrow c $ је резултанта.


Супротни вектори

Два вектора која имају исте правце, једнаке дужине и супротне смерове су супротни вектори.
Вектор супротан вектору $\overrightarrow a $ означава се са $ - \overrightarrow a $, а вектор супротан вектору $\overrightarrow {AB} $ са $\overrightarrow {BA} $.

Нула-вектор је супротан самом себи, тј. $\overrightarrow 0  =  - \overrightarrow 0$.

За супротне векторе важи:

$\overrightarrow a  + \left( { - \overrightarrow a } \right) = \overrightarrow 0 ,\quad \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA}  = 0,\quad  - \left( { - \overrightarrow a } \right) = \overrightarrow a .$


Особине сабирања вектора

Нека је $\mathbb{V}$ скуп свих вектора. За произвољне векторе $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $ и $\overrightarrow c $ из $\mathbb{V}$ важне особине:

  1. затвореност: $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  \in \mathbb{V}$,
  2. асоцијативност: $\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)$,
  3. постојање неутралног елемента: $\overrightarrow a  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow 0  + \overrightarrow a  = \overrightarrow a $,
  4. постојање инверзног елемента: $\overrightarrow a  + \left( { - \overrightarrow a } \right) = \left( { - \overrightarrow a } \right) + \overrightarrow a  = \overrightarrow 0$,
  5. комутативност: $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a$.

 

Одузимање вектора

Разлика вектора $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ је вектор $\overrightarrow a  + \left( { - \overrightarrow b } \right)$ и означава се са $\overrightarrow a  - \overrightarrow {b} $.

 

Множење вектора

Производ скалара $p \in \mathbb{R}$ и вектора $\overrightarrow a $ је вектор који има правац вектора $\overrightarrow a $ , дужину $\left| p \right|\left| {\overrightarrow a } \right|$ и исти смер као вектор $\overrightarrow a $ ако је $p > 0$, а супротан ако је $p < 0$. Ако је $p = 0$ или $\overrightarrow a  = 0$, производ скалара $p$ и вектора $\overrightarrow a $ је нула-вектор.

Производ скалара $p \in \mathbb{R}$ и вектора $\overrightarrow a $ означава се са $p\overrightarrow a $ или $\overrightarrow a p$. Дужина вектора $p\overrightarrow a $ је $\left| p \right|\left| {\overrightarrow a } \right|$, при чему је $\left| p \right|$ апсолутна вредност реалног броја $p$, а $\left| {\overrightarrow a } \right|$ је дужина вектора $\overrightarrow a $.

Особине множења скаларом

За свако $p,q \in \mathbb{R}$ и свако $a,b \in \mathbb{V}$ важи:

  1. затвореност: $p \overrightarrow a  \in \mathbb{V}$,
  2. неутрални елементи: $1 \overrightarrow a  = \overrightarrow a $,
  3. асоцијативност: $p\left( {q\overrightarrow a } \right) = \left( {pq} \right)\overrightarrow a $,
  4. дистрибутивност множења према сабирању скалара: $\left( {p + q} \right)\overrightarrow a  = p\overrightarrow a  + q\overrightarrow a $, 
  5. дистрибутивност множења према сабирању вектора: $p\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = p\overrightarrow a  + p\overrightarrow b$.

 

Количник вектора и скалара

Количник вектора $\overrightarrow a $ и скалара $p \ne 0$ је вектор једнак производу реципрочне вредности $\frac{1}{p}$ скалара $p$ и вектора $\overrightarrow a $, тј.

$\frac{{\overrightarrow a }}{p} = \frac{1}{p}\overrightarrow a $.

Ако је $\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 $, онда је: 

 $\frac{{\overrightarrow a }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \overrightarrow {{a_0}} , \quad \overrightarrow a  = \left| {\overrightarrow a } \right|\overrightarrow {{a_0}}$

 где је $\overrightarrow {{a_0}} $ јединични вектор који има правац и смер вектора $\overrightarrow a $. 

Линеарна комбинација вектора

Вектор

$\overrightarrow s  = {p_1}\overrightarrow {{a_1}}  + {p_2}\overrightarrow {{a_2}}  +  \cdot  \cdot  \cdot  + {p_k}\overrightarrow {{a_k}} , \quad {p_i} \in \mathbb{R}, \quad \overrightarrow {{a_i}}  \in \mathbb{V}, \quad i = 1,2,.....,k,$

назива се линеарна комбинација вектора $\overrightarrow {{a_i}}  \in V$, $i = 1,2,....,k$.

Вектори $\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,...{\text{ }},\overrightarrow {{a_k}} $ су линеарно зависни, ако постоје скалари ${p_1},{p_2},....,{p_k}$, од којих је бар један различит од нуле, такви да је:

${p_1}\overrightarrow {{a_1}}  + {p_2}\overrightarrow {{a_2}}  +  \cdot  \cdot  \cdot  + {p_k}\overrightarrow {{a_k}}  = \overrightarrow 0$.

Вектори $\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,...{\text{ }},\overrightarrow {{a_k}} $ су линеарно независни, ако нису линеарно зависни.

 

Интензитет и орт вектора

intenzitet ort vektora

 

Ако је $\overrightarrow a  = {a_x}\overrightarrow i  + {a_y}\overrightarrow j  + {a_x}\overrightarrow k $, онда је интензитет вектора $\overrightarrow a $.

$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}  = a$,

а орт вектора $\overrightarrow a $ је

$\overrightarrow {{a_0}}  = \frac{1}{a} \cdot \overrightarrow a  = \frac{{{a_x}}}{a}\overrightarrow i  + \frac{{{a_y}}}{a}\overrightarrow j  + a\frac{{{a_x}}}{a}\overrightarrow k $,

или

$\overrightarrow {{a_0}}  = \cos \alpha \overrightarrow i  + \cos \beta \overrightarrow j  + \cos \gamma \overrightarrow k $

где су $\alpha ,\beta ,\gamma $ углови које вектор $\overrightarrow a $ гради редом са координатним осама $x,y,z$.

 

Скаларни призвод

Скаларни производ вектора $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ је скалар

$\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

Особине скаларног производа

Ако су $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c  \in \mathbb{V}$ и $\lambda  \in \mathbb{R}$, онда важи:

  1. $\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \overrightarrow b  \cdot \overrightarrow a $,
  2. $\lambda \left( {\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b } \right) = \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow b $,
  3. $\overrightarrow a  \cdot \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  + \overrightarrow a  \cdot \overrightarrow c $,
  4. $\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow a  = {\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}$.
  5. $\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = 0$ ако и само ако су вектори $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ узајамно ортогонални ($a \bot b$)

Израчунавање скаларног производа помоћу координата

Ако је $\overrightarrow a  = {a_x}\overrightarrow i  + {a_y}\overrightarrow j  + {a_z}\overrightarrow k $ и $\overrightarrow b  = {b_x}\overrightarrow i  + {b_y}\overrightarrow j  + {b_z}\overrightarrow {k} $, онда је:

$\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = {a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} + {a_z}{b_z}$.


Угао између два вектора

Ако је $\overrightarrow a  = {a_x}\overrightarrow i  + {a_y}\overrightarrow j  + {a_z}\overrightarrow k $ и $\overrightarrow b  = {b_x}\overrightarrow i  + {b_y}\overrightarrow j  + {b_z}\overrightarrow {k} $, онда је

$$\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}},$$

$$\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{{a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} + {a_z}{b_z}}}{{\sqrt {a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}  \cdot \sqrt {b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} }}.$$

 

Векторски производ вектора

Векторски производ вектора $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $ је вектор $\overrightarrow c  = \overrightarrow a  \times \overrightarrow b $, који има интензитет једнак површини паралелограма конструисаног над векторима $\overrightarrow a $ и $\overrightarrow b $, правац нормалан на раван овог паралелограма, а смер такав да је триедар $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right)$ десни (а то значи да ротација вектора $\overrightarrow a $ ка вектору $\overrightarrow b $, у смеру супротном кретању казаљке на часовнику, има најкраћи пут, гледано са завршне тачке вектора $\overrightarrow a  \times \overrightarrow b $).

vektorski proizvod vektora

Особине векторског производа

Ако је $\overrightarrow a ,\overrightarrow b  \in \mathbb{V}$ и $\lambda  \in \mathbb{R}$, онда важи:

  1. $\left| {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\sin \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$,
  2. $\left( {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow a  = 0,{\text{   }}\left( {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow b  = 0$,
  3. $\overrightarrow a  \times \overrightarrow b  =  - \overrightarrow b  \times \overrightarrow a $,
  4. $\lambda \left( {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right) = \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) \times \overrightarrow b $,
  5. $\overrightarrow a  \times \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = \left( {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right) + \left( {\overrightarrow a  \times \overrightarrow c } \right)$,
  6. $\overrightarrow a  \times \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) = 0$.

Израчунавање векторског производа помоћу координата

За $\overrightarrow a  = {a_x}\overrightarrow i  + {a_y}\overrightarrow j  + {a_z}\overrightarrow k $ и $\overrightarrow b  = {b_x}\overrightarrow i  + {b_y}\overrightarrow j  + {b_z}\overrightarrow {k} $ је

$\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\overrightarrow i }&{\overrightarrow j }&{\overrightarrow k } \\
{{a_x}}&{{a_y}}&{{a_z}} \\
{{b_x}}&{{b_y}}&{{b_z}}
\end{array}} \right|$.

 

Мешовити векторски производ

Мешовити производ $\left( {\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow c $ три некомпланарна вектора $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $ и $\overrightarrow c $ је скалар, чија је апсолутна вредност једнака запремини паралелопипеда конструисаног над векторима $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $ и $\overrightarrow c $.

mesovit proizvod vektora

Знак мешовитог производа је позитиван , ако су системи $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow a  \times \overrightarrow b } \right)$ и $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right)$ исте оријентације, а негативан ако су супротне.

Израчунавање мешовитог производа помоћу координата

Ако је $\overrightarrow a  = {a_x}\overrightarrow i  + {a_y}\overrightarrow j  + {a_z}\overrightarrow k $, $\overrightarrow b  = {b_x}\overrightarrow i  + {b_y}\overrightarrow j  + {b_z}\overrightarrow k $ и $\overrightarrow c  = {c_x}\overrightarrow i  + {c_y}\overrightarrow j  + {c_z}\overrightarrow k $, онда је

$\left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow c = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_x}}&{{a_y}}&{{a_z}} \\
{{b_x}}&{{b_y}}&{{b_z}} \\
{{c_x}}&{{c_y}}&{{c_z}}
\end{array}} \right|$.