Интегрални рачун

Неодређени интеграл

Примитивна функција

Функција $F$, диференцијабилна на интервалу $I$, назива се примитивна функција функције $f$ на интервалу $I$, ако за свако $x \in I$ важи

$F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Ако су функције ${F_1}$ и ${F_2}$ примарне функције функције $f$, онда се оне разликују највише за константу $C$.

${F_1}\left( x \right) = {F_2}\left( x \right) + C$.

 

Неодређени интеграл

Неодређени интеграл функције $f$ на неком интервалу је скуп свих примитивних функција функције $f$ на том интервалу и озачава се 

\[\int {f\left( x \right)dx} \].

 

Таблица неодређених интеграла

$\int {dx{\text{           =  }}x + C} $

$\int {{x^n}dx{\text{       =  }}\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C} $, $n \in \mathbb{Z}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$, ${\text{ }}x \ne 0$ ако је $n < 0$

$\int {{x^\alpha }dx{\text{       =  }}\frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{n + 1}} + C,{\text{  }}\alpha  \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\},{\text{  }}x > 0} $

$\int {\sin xdx{\text{    =  }} - \cos x + C} $

$\int {\cos xdx{\text{   =  }}\sin x + C} $

$\int {tgxdx{\text{      =  }} - In|\cos x| + C,{\text{  }}x \ne \left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{2}} $

$\int {ctgxdx{\text{      =  }}} In|\sin x| = C,{\text{  }}x \ne 2k\pi $

$\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}{\text{     =  }}tgx + C,{\text{  }}x \ne \left( {2k\pi  + 1} \right)\frac{\pi }{2}} $

$\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}\pi }}{\text{     =  }} - ctgx + C,{\text{   }}x \ne 2k\pi } $

$\int {\frac{{dx}}{{{a^2} + {x^2}}}{\text{    =  }}\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a} + C,{\text{  }}a \ne 0} $

$\int {\frac{{dx}}{{{a^2} - {x^2}}}{\text{   =  }}\frac{1}{{2n}}In\left| {\frac{{a + x}}{{a - x}}} \right|}  + C,{\text{  }}a \ne 0,{\text{  }}\left| x \right| \ne a$

$\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - {a^2}}}{\text{   =  }}\frac{1}{{2a}}In\left| {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right| + C,{\text{  }}a \ne 0,{\text{  }}\left| x \right| \ne a} $

$\int {\frac{{dx}}{x}{\text{          =  }}Inx + C} $

$\int {{e^x}dx{\text{        =  }}{e^2} + C} $

$\int {{a^x}dx} {\text{        =  }}\frac{{{a^x}}}{{Ina}} + C,{\text{  }}a > ,{\text{ }}a \ne 1$

$\int {{\text{sh}}xdx{\text{        =  ch}}x + C} $

$\int {{\text{ch}}xdx{\text{        =  ch}}x + C} $

$\int {{\text{th}}xdx{\text{        =  lnch}}x + C} $

$\int {{\text{sh}}xdx{\text{        =  ln}}\left| {{\text{sh}}x} \right| + C} ,x \ne 0$

$\int {\frac{{dx}}{{c{h^2}x}}{\text{        =  th}}x + C} $

$\int {\frac{{dx}}{{c{h^2}x}}{\text{        =   - cth}}x + C} ,x \ne 0$

$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{\text{        =  arcsin}}\frac{x}{a} + C} ,\left| x \right| < a$

$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{\text{        =  ln}}\left( {x + \sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right) + C} ,$

$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{\text{        =  ln}}\left| {x + \sqrt {{x^2} - {a^2}} } \right| + C} ,\left| {x > a} \right|$

 

Њутн-Лајбицова теорема

Нека је $F$ примитивна функција непрекидне функције $f$ на интервалу $\left[ {a,b} \right]$. Тада се одређени интеграл $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $ може израчунати по формули 

$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)$.

 

Особине неодређеног интеграла

  1. Адитивност

    \[\int {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } } \]

  2. Издвајање константе испред интеграла
     
    \[\int {Cf\left( x \right)dx = C\int {f\left( x \right)dx.} } \]
     
  3. Ако је $F$ примитивна функција функције $f$ на интервалу $D$, онда је за произвољне константе $a$ и $b$ ($\left( {a \ne 0} \right)$)

    \[\int {f\left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right) + C}\].
     
    при чему $x$ припада интервалу за који $ax + b$ припада интервалу $D$.

 

Парцијална  интеграција

Ако $u\left( x \right)$ и $v\left( x \right)$ имају у неком интервалу $D$ непрекидне изводе онда је 

$\int {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx}  = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {v\left( x \right)u'\left( x \right)dx.} $

 

Смена променљиве

Нека је функција $f$ непрекидна на интервалу $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$, функција $z = g\left( x \right)$ има на интервалу $\left[ {a,b} \right]$ непрекидан извод и нека је $\alpha  \leqslant g\left( x \right) \leqslant \beta $. Онда је

$\int {f\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right)dx = \int {f\left( z \right)dz.} } $

При том се после интеграције на десној страни ставља смена $z = g\left( x \right)$.

 

Смена променљивих код одређеног интеграла

Смена је $x = h\left( z \right)$ инверзна функција за функцију $z = g\left( x \right)$. Онда је 

$\int\limits_a^b {f\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right)dx}  = \int\limits_{g\left( a \right)}^{g\left( b \right)} {f\left( z \right)dz,{\text{   }}\int\limits_\alpha ^\beta  {f\left( z \right)dz = \int\limits_{h\left( \alpha  \right)}^{h\left( \beta  \right)} {f\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right)dx} } } $.