Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Нумеричка интеграција

За израчунавање приближне вредности одређеног интеграла

I[f;a,b]=∫abf(x)dxI\left[ {f;a,b} \right] = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx

користе се као квадратурне формуле облика

Qn(f;a,b)∑i=0nAif(xi){Q_n}\left( {f;a,b} \right)\sum\limits_{i = 0}^n {{A_i}f\left( {{x_i}} \right)},

где су

xi∈[a,b], i[0,1,...,n,{x_i} \in \left[ {a,b} \right],{\text{ }}i[0,1,...,n,

чворови а Ai{A_i} кофицијенти квадратурне формуле.

Примитивне квадратурне формуле

Нека су за n∈Nn \in N чворови интеграције

xi=a+ih, i=0,1,...,n, h=b−an{x_i} = a + ih,{\text{ }}i = 0,1,...,n,{\text{ }}h = \frac{{b - a}}{n}

Формуле левих, десних и средњих правоугаоника су редом

Ln(f;a,b)=h∑i=0n−1f(a+ih){L_n}\left( {f;a,b} \right) = h\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {f\left( {a + ih} \right)},

Mn(f;a,b)=h∑i=0n−1f(a+(i−12)h){M_n}\left( {f;a,b} \right) = h\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {f\left( {a + \left( {i - \frac{1}{2}} \right)h} \right)}.

За f∈C1[a,b]f \in {C^1}\left[ {a,b} \right] постоје α,β∈(a,b)\alpha ,\beta \in \left( {a,b} \right), такви да је

I(f;a,b)−Ln(f;a,b)=b−a2f‘(α)h, α∈(a,b)I\left( {f;a,b} \right) - {L_n}\left( {f;a,b} \right) = \frac{{b - a}}{2}f`\left( \alpha \right)h,{\text{ }}\alpha \in \left( {a,b} \right),

I(f;a,b)−Dn(f;a,b)=b−a2f‘(β)h, β∈(a,b),I\left( {f;a,b} \right) - {D_n}\left( {f;a,b} \right) = \frac{{b - a}}{2}f`\left( \beta \right)h,{\text{ }}\beta \in \left( {a,b} \right),

За f∈C2[a,b]f \in {C^2}\left[ {a,b} \right] постоји γ∈(a,b)\gamma \in \left( {a,b} \right), такво да је

I(f;a,b)−Mn(f;a,b)=b−a24f‘‘(γ)h2, γ∈(a,b).I\left( {f;a,b} \right) - {M_n}\left( {f;a,b} \right) = \frac{{b - a}}{{24}}f``\left( \gamma \right){h^2},{\text{ }}\gamma \in \left( {a,b} \right).

Трапезна квадратурна формула

 Tn(f;a,b)=h2[f(a)+2∑i=1n−1f(a+ih)+f(b)]{T_n}\left( {f;a,b} \right) = \frac{h}{2}\left[ {f\left( a \right) + 2\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {f\left( {a + ih} \right) + f\left( b \right)} } \right].

За f∈C2[a,b]f \in {C^2}\left[ {a,b} \right] постоји δ∈(a,b)\delta \in \left( {a,b} \right) такво да је

I(f;a,b)=Tn(f;a,b)−b−a12h2f′′(δ), δ∈(a,b).I\left( {f;a,b} \right) = {T_n}\left( {f;a,b} \right) - \frac{{b - a}}{{12}}{h^2}f''\left( \delta \right),{\text{ }}\delta \in \left( {a,b} \right).

Симсонова квадратна формула

Sn(f;a,b)=h6[f(x0)+2∑i=1n2−1f(x2i−1)+f(xn)]{S_n}\left( {f;a,b} \right) = \frac{h}{6}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2\sum\limits_{i = 1}^{\frac{n}{2} - 1} {f\left( {{x_{2i - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} } \right],

где је n=2m, m∈Nn = 2m,{\text{ }}m \in \mathbb{N}.

За f∈C4[a,b]f \in {C^4}\left[ {a,b} \right] постоји θ∈(a,b)\theta \in \left( {a,b} \right) такво да је

I(f;a,b)=Sn(f;a,b)−b−a180h4fIV(θ), θ∈(a,b).I\left( {f;a,b} \right) = {S_n}\left( {f;a,b} \right) - \frac{{b - a}}{{180}}{h^4}{f^{IV}}\left( \theta \right),{\text{ }}\theta \in \left( {a,b} \right).

Кад примитивна функција није елементарна, као за e−x2e^{-x^2}, или кад су вредности функције познате само из мерења, интеграл се рачуна приближно. Интервал [a,b][a, b] поделите на nn једнаких делова дужине h=b−anh = \frac{b - a}{n}, са чворовима xi=a+ihx_i = a + ih. Трапезна формула је Tn=h2[f(x0)+2f(x1)+⋯+2f(xn−1)+f(xn)]T_n = \frac{h}{2}\left[f(x_0) + 2f(x_1) + \dots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\right]. Симпсонова формула, за паран број делова nn, гласи Sn=h3[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+⋯+4f(xn−1)+f(xn)]S_n = \frac{h}{3}\left[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\right].

Грешка трапезне формуле опада као h2h^2, а Симпсонове као h4h^4: кад преполовите hh, прва се смањи око 4 пута, а друга око 16 пута. Обема формулама потребне су само вредности функције у чворовима, па раде и за функцију задату табелом. Пазите да код Симпсонове формуле nn буде паран.

0,40,81,21,620,20,40,60,811,20xyy = 1/x
2
Трапезна формула
0,7083
Тачно, ln 2
0,6931
Грешка
0,0152
Зелена изломљена линија спаја тачке графика y=1xy = \frac{1}{x} у чворовима, а површина испод ње је TnT_n. Кад удвостручите nn, грешка се смањи отприлике четири пута; за n=4n = 4 добијате T4T_4 из задатка за вежбу.

Хидролози из дубина измерених на сваких неколико метара рачунају површину попречног пресека реке, а исти поступак служи увек кад је функција задата само табелом мерења, на пример брзином из записа вожње.

Пресек реке

Мала река широка је 40 m. Дубине воде измерене на сваких 10 m, од обале до обале, износе 0; 2,1; 3,4; 2,6 и 0 m. Израчунајте површину попречног пресека реке трапезном и Симпсоновом формулом.

Решење

  1. Чворови су на растојању h=10h = 10 m, па је n=4n = 4, а вредности су f0=0f_0 = 0, f1=2,1f_1 = 2{,}1, f2=3,4f_2 = 3{,}4, f3=2,6f_3 = 2{,}6 и f4=0f_4 = 0.
  2. Трапезна формула: T4=102[0+2(2,1+3,4+2,6)+0]=5⋅16,2=81T_4 = \frac{10}{2}\left[0 + 2(2{,}1 + 3{,}4 + 2{,}6) + 0\right] = 5 \cdot 16{,}2 = 81 m².
  3. Симпсонова формула, јер је n=4n = 4 паран: S4=103[0+4⋅2,1+2⋅3,4+4⋅2,6+0]=103⋅25,6≈85,33S_4 = \frac{10}{3}\left[0 + 4 \cdot 2{,}1 + 2 \cdot 3{,}4 + 4 \cdot 2{,}6 + 0\right] = \frac{10}{3} \cdot 25{,}6 \approx 85{,}33 m².
  4. Трапезна формула дно замењује изломљеном линијом, која за овакво заобљено дно иде изнад њега и даје мању површину. Симпсонова формула дно прати параболама и обично је тачнија.

Одговор: Пресек реке има око 85 m² по Симпсоновој формули, а трапезна формула даје 81 m².

Задатак за вежбу

Израчунајте ∫12dxx\int_1^2 \frac{dx}{x} трапезном и Симпсоновом формулом за n=4n = 4 и упоредите резултате са тачном вредношћу ln⁡2≈0,6931\ln 2 \approx 0{,}6931.

Прикажи решење

h=0,25h = 0{,}25, а вредности у чворовима су 11; 0,80{,}8; 0,66670{,}6667; 0,57140{,}5714 и 0,50{,}5. T4=0,125⋅5,5762≈0,6970T_4 = 0{,}125 \cdot 5{,}5762 \approx 0{,}6970 и S4=0,253⋅8,3190≈0,6933S_4 = \frac{0{,}25}{3} \cdot 8{,}3190 \approx 0{,}6933, са грешкама од око 0,00390{,}0039 и 0,00010{,}0001.