Интегрални рачун

Нумеричка интеграција

За израчунавање приближне вредности одређеног интеграла

$I\left[ {f;a,b} \right] = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx$

користе се као квадратурне формуле облика

${Q_n}\left( {f;a,b} \right)\sum\limits_{i = 0}^n {{A_i}f\left( {{x_i}} \right)}$,

где су

${x_i} \in \left[ {a,b} \right],{\text{   }}i[0,1,...,n,$

чворови а ${A_i}$ кофицијенти квадратурне формуле.

 

Примитивне квадратурне формуле

Нека су за $n \in N$ чворови интеграције

${x_i} = a + ih,{\text{   }}i = 0,1,...,n,{\text{   }}h = \frac{{b - a}}{n}$

Формуле левих, десних и средњих правоугаоника су редом

${L_n}\left( {f;a,b} \right) = h\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {f\left( {a + ih} \right)}$,

${M_n}\left( {f;a,b} \right) = h\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {f\left( {a + \left( {i - \frac{1}{2}} \right)h} \right)}$.

За $f \in {C^1}\left[ {a,b} \right]$ постоје $\alpha ,\beta  \in \left( {a,b} \right)$, такви да је

$I\left( {f;a,b} \right) - {L_n}\left( {f;a,b} \right) = \frac{{b - a}}{2}f`\left( \alpha  \right)h,{\text{   }}\alpha  \in \left( {a,b} \right)$,

$I\left( {f;a,b} \right) - {D_n}\left( {f;a,b} \right) = \frac{{b - a}}{2}f`\left( \beta  \right)h,{\text{   }}\beta  \in \left( {a,b} \right),$

За $f \in {C^2}\left[ {a,b} \right]$ постоји $\gamma  \in \left( {a,b} \right)$, такво да је

$I\left( {f;a,b} \right) - {M_n}\left( {f;a,b} \right) = \frac{{b - a}}{{24}}f``\left( \gamma  \right){h^2},{\text{   }}\gamma  \in \left( {a,b} \right).$

 

Трапезна квадратурна формула

 ${T_n}\left( {f;a,b} \right) = \frac{h}{2}\left[ {f\left( a \right) + 2\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {f\left( {a + ih} \right) + f\left( b \right)} } \right]$.

За $f \in {C^2}\left[ {a,b} \right]$ постоји $\delta  \in \left( {a,b} \right)$ такво да је

$I\left( {f;a,b} \right) = {T_n}\left( {f;a,b} \right) - \frac{{b - a}}{{12}}{h^2}f''\left( \delta  \right),{\text{   }}\delta  \in \left( {a,b} \right).$

 

Симсонова квадратна формула

${S_n}\left( {f;a,b} \right) = \frac{h}{6}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2\sum\limits_{i = 1}^{\frac{n}{2} - 1} {f\left( {{x_{2i - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} } \right]$,

где је $n = 2m,{\text{ }}m \in \mathbb{N}$.

За $f \in {C^4}\left[ {a,b} \right]$ постоји $\theta  \in \left( {a,b} \right)$ такво да је

$I\left( {f;a,b} \right) = {S_n}\left( {f;a,b} \right) - \frac{{b - a}}{{180}}{h^4}{f^{IV}}\left( \theta  \right),{\text{  }}\theta  \in \left( {a,b} \right).$