Интегрални рачун

Одређени интеграл

Нека је функција $f$ дефинисана и ограничена на интервалу $\left[ {a,b} \right]$. 

Нека је $P$ подела интервала $\left[ {a,b} \right]$ на $n$ подинтервала $\left[ {{x_i} - {x_{i - 1}},{x_i}} \right],i = 1,2,...,n$, при чему је

$a = {x_0} < {x_1} < ... < {x_{n - 1}} < {x_n} = b$

Нека је

$\Delta \left( P \right) = \max \left( {{x_i} - {x_{i - 1}}:1 \leqslant i \leqslant n} \right) < \delta $

Нека је за свако $i$ изабрано неко ${c_i} \in \left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]$. Број 

$\sigma \left( P \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{c_i}} \right)} \left( {{x_i} - {x_{i = 1}}} \right)$

назива се интегрална сума у односу на поделу  $P$.

Каже се да је функција $f$ интеграбилна на интервалу $\left[ {a,b} \right]$ у Римановом смислу ако постоји број $I\left[ {f;a,b} \right]$ са особинама да је за свако $\varepsilon  > 0$ постоји $\delta \left( \varepsilon  \right) > 0$, такво да је за сваку поделу $P$ , за коју је$\vartriangle \left( P \right) < \delta $, важи

$|\sigma \left( P \right) - I\left[ {f;a,b} \right]| < \varepsilon $

независно од избора тачака ${c_i}$.

Број $I\left[ {f;a,b} \right]$ назива се одређени интеграл функције $f$ на интервалу $\left[ {a,b} \right]$ и обележава се са

$I\left[ {f;a,b} \right] = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx$

где је $x$ променљива интеграције, а $a$ и $b$ су доња, односно горња граница интеграције.

 

Суме Дарбуа

Нека за дату $P$ важи

${g_i} \leqslant f\left( x \right) \leqslant {G_i}$, $x \in \left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]$, $i = 1,2,...,n$.

Бројеви

$S\left( P \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{G_i}\left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right)} $ и $s\left( P \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{g_i}\left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right)} $

називају се горња и доња Дабуова сума поделе $P$

 

Критеријум Риманове интегралности

Функција $f$, дефинисана и ограничена на интервалу $\left[ {a,b} \right]$, интеграбилна је на интервалу $\left[ {a,b} \right]$, тада и само дата када за свако $\varepsilon  > 0$ постоји $\delta \left( \varepsilon  \right) > 0$, такво да за сваку поделу $P$ важи

$\vartriangle \left( P \right) < \delta  \Rightarrow S\left( P \right) - s\left( P \right) < \varepsilon $

 

Класе функција које су увек интегралне

  1. Функције непрекидне на интервалу $\left[ {a,b} \right]$,
  2. Функције ограничене на интервалу $\left[ {a,b} \right]$  са коначно много тачака прекида,
  3. Функције ограничене и монотоне на интервалу $\left[ {a,b} \right]$.

 

Геометријска интерпретације одређеног интеграла

Ако је $f\left( x \right) \geqslant 0$ за $x \in \left[ {a,b} \right]$, онда интеграл $I\left[ {f;a,b} \right]$ представља површину ограничену осом $x$, графиком $f\left( x \right)$ и права $x = a$ и $x = b$.

Ако је $f\left( x \right) \leqslant 0$ за $x \in \left[ {a,b} \right]$, онда је одговарајућа површина $ - I\left[ {f;a,b} \right]$. 

 

Особине одређеног интеграла

  1. $\mathop \smallint \limits_a^a f\left( x \right)dx = 0$
  2. Ако постоји$\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx$ за $a < b$, онда је

    $\mathop \smallint \limits_b^a f\left( x \right)dx =  - \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx$

  3. Ако постоји  $\mathop \smallint \limits_a^c f\left( x \right)dx$ и $\mathop \smallint \limits_c^b f\left( x \right)dx$, онда постоји $\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx$ и за сваки распоред тачака $a$, $b$ и $c$ је:

    $\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_a^c f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_c^b f\left( x \right)dx.$
     
  4. Ако постоји $\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx$ онда је за сваку константу $C$

    $\mathop \smallint \limits_a^b Cf\left( x \right)dx = C\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx.$
     
  5. Ако постоје $\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx$ и $\mathop \smallint \limits_a^b g\left( x \right)dx$, онда постоји $\mathop \smallint \limits_a^b \left( f \right.\left( x \right) + g\left. {\left( x \right)} \right)dx$ и важи

    $\mathop \smallint \limits_a^b \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_a^b g\left( x \right)dx$.

  6. Ако постоје $\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx$ и $\mathop \smallint \limits_a^b g\left( x \right)dx$ и ако је $f\left( x \right) \leqslant g\left( x \right)$ за $x \in \left[ {a,b} \right]$, онда је

    $\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx \leqslant \mathop \smallint \limits_a^b g\left( x \right)dx.$

  7. Ако постоји $\mathop \smallint \limits_a^b \left| {f\left( x \right)} \right|dx$ онда постоји и $\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx$ и важи 

    $\left| {\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx} \right| \leqslant \mathop \smallint \limits_a^b \left| {f\left( x \right)} \right|dx$

  8. Ако је функција $f$ непрекидна на интервалу $\left[ {a,b} \right]$,онда је функција

    $F\left( x \right) = \int\limits_\alpha ^x {f\left( t \right)} dt$

    Непрекидна на $\left[ {a,b} \right]$ и има извод 

    $F`\left( x \right) = f\left( x \right)$. 

 

Прва теорема о средњој вредности

Ако је функција $f$ интеграбилна на интервалу $\left[ {a,b} \right]$, $m \leqslant f\left( x \right) \leqslant M,x \in \left[ {a,b} \right]$, онда постоји $\mu  \in \left[ {m.M} \right]$, такво да је 

$\int\limits_\alpha ^b {f\left( x \right)dx = \mu \left( {b - a} \right)} $

Ако је $f$ непрекидна функција на $\left[ {a,b} \right]$, онда постоји бар једно $\xi  \in \left( {a,b} \right)$ такво да је 

$\int\limits_\alpha ^b {f\left( x \right)dx = f\left( \xi  \right)\left( {b - a} \right)} $

 

Општа теорема о средњој вредности

Нека су функције $f$ и $g$ интеграбилне на интервалу $\left[ {a,b} \right]$, $m \leqslant f\left( x \right) \leqslant M,{\text{ }}x \in \left[ {a,b} \right]$ и нека $g\left( x \right) \geqslant 0$ (или $g\left( x \right) \leqslant 0$) за $x \in \left[ {a,b} \right]$.

Тада постоји $\mu  \in \left[ {m,M} \right]$, такво да је

$\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)g\left( x \right)dx = \mu \mathop \smallint \limits_a^b g\left( x \right)dx$.

Ако је $f$ непрекида функција на $\left[ {a,b} \right]$, онда постоји бар једно $\xi  \in \left( {a,b} \right)$ такво да је

$\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)g\left( x \right)dx = f\left( \xi  \right)\mathop \smallint \limits_a^b g\left( x \right)dx.$

 

Друга теорема о средњој вредности

Нека је функција $f$ монотона и ограничена на интервалу $\left[ {a,b} \right]$ и нека је $g$ интеграбилна на $\left[ {a,b} \right]$. Тада постоји бар једно $\xi  \in \left( {a,b} \right)$, такво да је

$\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)g\left( x \right)dx = f\left( a \right)\mathop \smallint \limits_a^\xi  g\left( x \right)dx + f\left( b \right)\mathop \smallint \limits_\xi ^b g\left( x \right)dx$.

 

Инверзија помоћу развоја функције у ред

Нека је функција ${f_k}\left( x \right),k = 1,2,...$ интеграбилне на интервалу $\left[ {a,b} \right]$ и нека је бесконачан ред 

$f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {{f_k}\left( x \right)} $

конвергентан равновмерно на $\left[ {a,b} \right]$. Онда је ред $f\left( x \right)$ такође интеграбилан на $\left[ {a,b} \right]$ и важи

$\mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( {\int\limits_a^b {{f_k}\left( x \right)dx} } \right)} $