Интегрални рачун

Примена одређеног интеграла

Израчунавање дужине лука криве

Декартове координате

Дужина лука непрекидно диференцијабилне криве $f\left( x \right)$ од тачке $\left( {a,f\left( a \right)} \right)$ до тачке $\left( {b,f\left( b \right)} \right)$ једнака је

$l = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}} dx} $.

Поларне координате

Дужина лука криве $\rho  = \rho \left( \varphi  \right),{\varphi _1} \leqslant \varphi  \leqslant {\varphi _2}$ је

$l = \int\limits_{{\varphi _1}}^{{\varphi _2}} {\sqrt {{\rho ^2}\left( \varphi  \right) + {{\left( {\rho '\left( \varphi  \right)} \right)}^2}} d\varphi } $,

ако функција $\rho \left( \varphi  \right)$ има на интервалу $\left[ {{\varphi _1},{\varphi _2}} \right]$ непрекидан извод.

Крива задата параметарски

Дужина лука криве $x = x\left( t \right),{\text{ }}y = y\left( t \right),t \in \left[ {\alpha ,\beta } \right]$ је

$l = \int\limits_\alpha ^\beta  {\sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2}} dt} $,

Ако функције $x\left( t \right)$ и $y\left( t \right)$ имају на интервалу $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ непрекидан први извод.

 

Израчунавање површине равних фигура

Декартове координате

Ако је функција $f$ непрекидна и ненегативна $x \in \left[ {a,b} \right]$, онда је површина ограничена осом $x$, графиком $f\left( x \right)$ и правама $x = a$ и $x = b$, дата формулом

$S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $

Површина равне фигуре ограничене непрекидним кривама $y = {f_1}\left( x \right)$, $y = {f_2}\left( x \right)$ и одсечцима правих $x = a$, $x = b$ једнака је 

$S = \left( {{f_2}\left( x \right) - {f_1}\left( x \right)} \right)dx$

под предпоставком да је ${f_1}\left( x \right) \leqslant {f_2}\left( x \right),{\text{ }}x \in \left[ {a.b} \right]$.

Поларне координате

Површина равне фигуре ограничене непрекидном кривом $\rho  = \rho \left( \varphi  \right)$ и одсечцима полуправих $\varphi  = {\varphi _1}$ и $\varphi  = {\varphi _2}$ једнака је

$S = \frac{1}{2}\int\limits_{{\varphi _1}}^{{\varphi _2}} {{\rho ^2}\left( \varphi  \right)d\varphi } $

под предпоставком да је $0 < {\varphi _2} - {\varphi _1} \leqslant 2\pi$.

Површина и запремина обртних тела

Нека је $y = f\left( x \right)$ ненегативна функција, која има непрекидан први извод у интервалу $\left[ {a,b} \right]$. Део криве $f\left( x \right)$ од тачке $\left( {a,f\left( a \right)} \right)$ до тачке $\left( {b,f\left( b \right)} \right)$ означимо са $k$. Ротирањем око $x$-осе, крива $k$ описује површ, чија је површина

$P = 2\pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)\sqrt {1 + {{\left( {f`\left( x \right)} \right)}^2}} dx} $,

а област ограничена кривом $k$, $x$-осом и правама $x = a$ и $x = b$, описује обртно тело, чија је запремина 

$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx$