Множество комплексных чисел C — это множество: \mathbb{C} = \left\{ {a + ib|a,b \in \mathbb{R} \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}{i^2} = — 1} \right\} и справедливо \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}.
Комплексные числа — это числа вида: z = a + ib, где a и b действительные числа, а i — мнимая единица, т.е. {{i^2} = — 1}.
Число a называется действительной частью комплексного числа z и обозначается: {\mathop{\rm Re}\nolimits} z или {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right).
Число b называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается: {\mathop{\rm Im}\nolimits} z или {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right).
Число z является действительным, если {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) = 0.
Если {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) = 0 и {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) \ne 0, то число z называется чисто мнимым.
Равенство комплексных чисел
Комплексные числа {z_1} = {a_1} + i{b_1} и {z_2} = {a_2} + i{b_2} равны, тогда и только тогда, когда {a_1} = {a_2} и {b_1} = {b_2} и это записывается {z_1} = {z_2}. Из равенства z = a + ib = 0 следует, что a = b = 0.
Сложение и вычитание комплексных чисел
Сумма комплексных чисел {z_1} = {a_1} + i{b_1} и {z_2} = {a_2} + i{b_2} есть комплексное число z = \left( {{a_1} + {a_2}} \right) + i\left( {{b_1} + {b_2}} \right), и это записывается z = {z_1} + {z_2}. И справедливо {\mathop{\rm Re}\nolimits} \sum\limits_{k = 1}^n {zk = \sum\limits_{k = 1}^n {{\mathop{\rm Re}\nolimits} zk,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} } {\mathop{\rm Im}\nolimits} \sum\limits_{k = 1}^n {} zk = \sum\limits_{k = 1}^n {{\mathop{\rm Im}\nolimits} zk.}
Произведение комплексных чисел
Произведение комплексных чисел {z_1} = {a_1} + i{b_1} и {z_2} = {a_2} + i{b_2} есть комплексное число z = \left( {{a_1}{a_2} — {b_1}{b_2}} \right) + i\left( {{a_1}{b_2} + {a_2}{b_1}} \right), это записываем z = {z_1}{z_2}.
Операции сложение, умножение для комплексных чисел имеют те же свойства, что и для действительных чисел.
При чём: ноль представляется в виде 0 = 0 + i0, единица в виде 1 = 1 + i0, противоположное число для комплексного числа z = a + ib относительно операции сложения, есть комплексное число — z = — a — ib, а обратное число для комплексного числа z = a + ib \ne 0 относительно операции умножения, есть комплексное число {z^{-1}} = \frac{1}{z} = \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} + i\frac{{ — b}}{{{a^2} + {b^2}}}.
Степень комплексного числа с целым показателем степени
При возведении комплексного числа в степень с целым показателем справедливы следующие свойства:
- {z^1} = z, {\rm{ }}{z^{m + 1}} = {z^m} \cdot z для m \in \mathbb{N} и z \ne \mathbb{C},
- {z^0} = 1,{\rm{ }}z \ne 0,
- {z^{ — m}} = \frac{1}{{{z^m}}}, для m \in \mathbb{N} и z \ne 0
Для мнимой единицы справедливо:
- {i^2} = — 1, {\rm{ }}{i^3} = — i, {\rm{ }}{i^4} = {i^0} = 1
- {i^{4k + 1}} = i, {\rm{ }}{i^{4k + 2}} = — 1, {\rm{ }}{i^{4k}} = 1, {\rm{ }}k = 0,1,2,…
Вычитание и деление комплексных чисел
Разностью комплексных чисел {z_1} = {a_1} + i{b_1} и {a_2} + i{b_2} является комплексное число, такое, что z = {z_1} — {z_2} = {z_1} + \left( { — {z_2}} \right) = \left( {{a_1} — {a_2}} \right) + i\left( {{b_1} — {b_2}} \right).
Частным комплексных чисел {z_1} = {a_1} + i{b_1} и {z_2} = {a_2} + i{b_2} \ne 0 является комплексное число, такое, что z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = {z_1} \cdot \frac{1}{{{z_2}}} = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{a_2^2 + b_2^2}} + i\frac{{{a_2}{b_1} — {a_1}{b_2}}}{{a_2^2 + b_2^2}}.
Корень n-ой степени комплексного числа
Если n натуральное число и c комплексное число, тогда корень n-ой степени из числа c есть решение уравнения {z^n} = c и обозначается \sqrt[n]{c}.
Операции возведения в степнь и извлечение корня из комплексного числа имеют те же свойства, что и действительные числа.
Сопряжённые числа
Число \bar z = a — ib называется комплексно сопряжённым (сопряжённым) числу z = a + ib.
Справедливы следующие утверждения:
- z\bar z = {a^2}{b^2}, \bar{\bar z} = z,
- {\mathop{\rm Re}\nolimits} {\rm{ }}z = \frac{1}{2}\left( {z + \bar z} \right),{\rm{ Im }}z = \frac{1}{{{2_i}}}\left( {z — \bar z} \right),
- \overline {{z_1} \pm {z_2}} = {\bar z_1} \pm {\bar z_2},{\rm{ }}\overline {{z_1} \cdot {z_2}} = {\bar z_1} \cdot {\bar z_2},
- \overline {\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)} = \frac{{{{\bar z}_1}}}{{{{\bar z}_2}}},{\rm{ }}{z_2} = 0,
- \overline {\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{z_k}} } \right)} = \sum\limits_{k = 1}^n {{{\bar z}_k}} ,{\rm{ }}\overline {\left( {\prod\limits_{k = 1}^n {{z_k}} } \right)} = \prod\limits_{k = 1}^n {{{\bar z}_k}} .
Геометрическое представление комплексного числа
Комплексное число z = x + iy на комплексной плоскости соответствует точка M\left( {x,y} \right). 
Модуль комплексного числа и его свойства
Модуль комплексного числа z = x + iy — это расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат. Обозначается \left| z \right|. \rho = \left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {z\bar z} = \left| {\bar z} \right| 1. \left| z \right| \ge 0, 2. \left| z \right| = 0 ако и само ако је z = 0, 3. {\left| z \right|^2} = z\bar z, 4. \left| {\left| z \right| — \left| w \right|} \right| \le \left| {z \pm w} \right| \le \left| z \right| + \left| w \right|, 5. \left| {zw} \right| = \left| z \right|\left| w \right|, 6. \left| {\frac{z}{w}} \right| = \left| {\frac{z}{w}} \right|, ако је w \ne 0, 7. из \left| z \right| \le A и \left| w \right| \le B следует \left| {z + w} \right| \le A = B{\rm{ }} и \left| {zw} \right| \le AB,{\rm{ }}A,B \in \mathbb{R}
Аргумент комплексного числа
Аргумент комплексного числа z = x + iy \ne 0 — это угол между осью Оx и вектором, изображающий это комплексное число. Аргумент комплексного числа z обозначается Arg{\rm{ }}z и неоднозначно определён.
Аргумент числа z = 0 не определён.
Аргумент, для которого выполняется условие: — \pi < Arg{\rm{ z}} \le \pi {\rm{,}} называется главным аргументом, однозначно определён и обозначается \arg {\rm{ z}}.
Справедливо: Arg{\rm{ z}} = \arg {\rm{ z}} + 2k\pi ,{\rm{ }}k = 0, \pm 1, \pm 2,….
Для z = x + iy \ne 0,x \ne 0, је \varphi = \arg {\rm{ }}z,{\rm{ tg}}\varphi {\rm{ = }}\frac{y}{x} Для определения главного аргумента \arg {\rm{ z}} справедливо правило: \arg {\rm{ z}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{ 0}}{\rm{, x > 0}}{\rm{, y}} = 0,}\\ {arctg\frac{y}{x},{\rm{ x > 0}}{\rm{, y}} \ne 0,}\\ {\frac{\pi }{2}{\rm{, x}} = 0,{\rm{ y > }}0,}\\ {\pi + arctg\frac{y}{x},{\rm{ x < 0}}{\rm{, y > 0}}{\rm{,}}}\\ {\pi ,{\rm{ x < 0}}{\rm{, y}} = 0,}\\ { — \pi + arctg\frac{y}{x},{\rm{ x < 0}}{\rm{, y}} = 0,}\\ { — \frac{\pi }{2}{\rm{, x}} = 0,{\rm{ y < 0}}{\rm{,}}} \end{array}} \right.{\rm{ }}
Полярные координаты комплексного числа
Полярными координатами комплексного числа z = x + iy \ne 0 назваются модуль и аргумент этого числа \left( {|z|,{\rm{ arg z}}} \right) = \left( {\rho ,\varphi } \right). Для x,y,|z| и {\rm{arg z}} имеют место следующие соотношения: {\rm{x}} = \rho \cos \varphi ,{\rm{ y}} = \rho {\rm{sin}}\varphi {\rm{, }}\rho = {\rm{|z|}}{\rm{, }}\varphi = \arg z
Тригонометрическая форма комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа z = x + iy \ne 0 имеет вид z = \rho \cos \varphi + i\rho \sin \varphi = \rho \left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right).
Если {z_1}{\rm{ = }}{\rho _1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right) и {{\rm{z}}_2} = {\rho _2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right) тогда справедливо:
- {z_1} \cdot {z_2} = {\rho _1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right) \cdot {\rho _2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right) = {\rho _1}{\rho _2}\left( {\cos \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right)
- \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{\rho _1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right)}}{{{\rho _2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)}} = \frac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\left( {\cos \left( {{\varphi _1} — {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} — {\varphi _2}} \right)} \right)
- Для комплексного числа z = \rho \left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right) \ne 0 и целого числа n справедливо {z^n} = {\rho ^n}{\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^n} = {\rho ^n}\left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right).
- Если n натуральное число, z комплексное число и z = \rho \left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right), тогда корень n-ой степени из числа z: \sqrt[n]{{z = }}\sqrt[n]{{\rho \left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)}} = \sqrt[n]{\rho }\left( {\cos \frac{{\varphi + 2k\pi }}{n} + i\sin \frac{{\varphi + 2k\pi }}{n}} \right), при этом \sqrt[n]{\rho } это корень из положительного числа \rho и k = 0,1,2,…,n — 1.
- Для n \in \mathbb{N}, {\rm{k}} = 0,1,2,…,n — 1 справедливо: \sqrt[n]{1} = \cos \frac{{2k\pi }}{n} + i\sin \frac{{2k\pi }}{n}, \sqrt[n]{{ — 1}} = \cos \frac{{\left( {2k + 1} \right)\pi }}{n} + i\sin \frac{{\left( {2k + 1} \right)\pi }}{n}.
Формула Муавра {\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)^n} = \cos n\varphi + i\sin n\varphi
