Геометрија

Кружница

Кружница $k(O,r)$ је скуп тачака у равни чије је растојање од дате тачке $O$ те равни једнако датом растојању $r, (r>0).$

Тачку $O$ од које су све тачке кружнице једнако удаљене називамо центар кружнице, а дуж која спаја центар кружнице са било којом тачком на кружници назива се полупречник кружнице.

Дуж која спаја две тачке на кружници назива се тетива кружнице.

Најдужа тетива кружнице је пречник те кружнице. Свака оваква тетива пролази кроз центар кружнице, а њена дужина једнака је двострукој дужини полупречника.

Део кружнице ограничен двема њеним тачкама назива се кружни лук.

Круг $K(O,r)$ је скуп тачака у равни чија је удаљеност од дате тачке $O$ те равни мања или једнака датом растојању $r, (r>0).$

Нека је $r$ полупречник, а $d$ пречник кружнице $\left( {d = 2r} \right).$

kruznica1

Обим кружнице је $O = 2r\pi = d\pi$, а површина је $P=r^2\pi=\frac{d^2}{4}\pi.$

Централни угао круга је угао чије је теме у центру круга, а периферијски угао је угао чије је теме на кружници, а краци садрже тетиве те кружнице.
Централни угао $\alpha $ је два пута већи од периферијског угла $\beta $ над истим луком $\alpha = 2\beta .$
Сви периферијски углови над истим кружним луком су међусобно једнаки.

cent perif ugao kruznice

Периферијски угао над пречником кружнице је прав.

Последица овог тврђења је да се центар описане кружнице око правоуглог троугла налази на средини хипотенузе.

Угао $\gamma $ између сечице и тангенте је два пута мањи од централног угла $\alpha $ над истим луком, $\alpha = 2\gamma .$

ugao izmedju tangente i tetive

Потенција тачке

$${A_1}{C_1} \cdot {A_1}{D_1} = {A_1}{B_1} \cdot {A_1}{E_1} = {r^2} - {m^2},$$

$$AB \cdot AE = AC \cdot AD = A{T^2} = {m^2} - {r^2}.$$

potencija tacke

 

Дужина кружног лука и површина кружног исечка

Кружни лук је део кружнице ограничен двема тачакама на кружници.

Кружни исечак је део круга ограничен са два полупречника и луком између крајњих тачака тих полупречника.

duzina kruznog luka i povrsina kruznog isecka

$$l=\frac{O}{360^\circ}\alpha=\frac{2r\pi}{360^\circ}\alpha=\frac{r\pi\alpha}{180^\circ}$$

$$P_i=\frac{P}{360^\circ}\alpha=\frac{r^2\pi}{360^\circ}\alpha$$

$$\Rightarrow P_i=\frac{rl}{2}$$

Кружни одсечак

Нека је $l$ дужина лука, $a$ тетива, $\alpha $ центрани угао (у степенима), а $h$ висина одсечка. Тада важи

kruzni odsecak

$$a = 2\sqrt {2hr - {h^2}} = 2r\sin \frac{\alpha}{2},$$

$$h = r - \sqrt {{r^2} - \frac{a^2}{4}} = r\left( {1 - \cos \frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{a}{2}tg\frac{\alpha }{4}.$$

Површина одсечка тј. дела исечка осенченог на слици је

$$P = \frac{{{r^2}}}{2}\left( {\frac{{\pi \alpha }}{{180}} - \sin \alpha } \right) = \frac{{lr - a\left( {r - h} \right)}}{2}.$$

 

 

Кружни прстен

Нека је спољни пречник $D = 2R$, унутрашњи пречник $d = 2r$, средњи полупрeчник $\rho = \frac{{R + r}}{2}$, ширина прстена $\delta = R - r$, $l$ дужина лука спољне, а ${l_1}$ дужина лука унутрашње кружнице.

kruzni prsten

Површину прстена добијамо када од површине већег круга одузмемо површину мањег круга.

$$P = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right) = \frac{\pi }{4}\left( {{D^2} - {d^2}} \right) = 2\pi \rho\delta.$$

Површина дела прстена (осенченог на слици) са централним углом $\varphi $ (у степенима) је

$$P = \frac{{\varphi \pi }}{{360^\circ}}\left( {{R^2} - {r^2}} \right) = \frac{{\varphi \pi }}{{1440^\circ}}\left( {{D^2} - {d^2}} \right) = \frac{{\varphi \pi }}{{180^\circ}}\rho\delta = \frac{{l + {l_1}}}{2}\delta.$$