Паралелограми

Основна својства

1. Наспрамне стране су једнаке $a=b, \text{ }c=d$
2. наспрамне стране су паралелне $a||b, \text{ }c||d$
3. дијагонале се полове тачком пресека
4. наспрамни углови су једнаки $\alpha=\gamma, \text{ } \beta=\delta$

Ако важи бар једно од наведених својстава, онда важе и сва остала.

Површина паралелограма: $P=ah_a=bh_b$

Како на основу дефиниције $\sin$ важи да је $\sin \alpha=\frac{h_a}{b} \Rightarrow h_a=b\sin\alpha$, тако имамо да површину можемо израчунати помоћу формуле: $P=ab\sin\alpha.$

Ако применимо косинусну теорему на троуглове $\Delta ABD$ и $\Delta ABC$:

$d_2^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha$

$d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos\beta$

Како је $\alpha+\beta=180^{\circ}$ следи да је $\cos\beta=\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha$, имамо:

$d_2^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha$

$d_1^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha$

Па уколико саберемо/одузмемо ове једначине, добијамо да за дијагонале и странице важи:

$d_1^2 + d_2^2 = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$

                                           $d_1^2-d_2^2=4ab\cos\alpha$

Правоугаоник

Паралелограм је правоугаоник ако су

1. ако су сви углови прави или
2. ако су дијагонале једнаке.

Из једног услова следи други.

Важи Питагорина теорема: $a^2+b^2=d^2$

Површина правоугаоника је : $P=a\cdot b$

Полупречник описане кружнице око правоугаоника је $r_o=\frac{d}{2}$

Квадрат

Квадрат је правоугаоник код којег је $a = b$.

Важи Питагорина теорема: $a^2+a^2=d^2$

                                              $2a^2=d^2$

                                              $d=a\sqrt{2}$

                                              $a=\frac{\sqrt{2}}{2}d$

Површинa квадрата је: $P=a^2=\frac{d^2}{2}$

Полупречник описане кружнице око квадрата: $r_o=\frac{d}{2}$

Полупречник уписане кружнице у квадрат: $r_u=\frac{a}{2}$

Ромб

Ромб је паралелограм који има

1. све странице једнаке,
2. узајамно нормалне дијагонале,
3. дијагонале које се полове.

Сваки од ових услова следи из остала два.

Важи Питагорина теорема: $(\frac{d_1}{2})^2+(\frac{d_2}{2})^2=a^2$

Површина $P = ah = \frac{{{d_1}{d_2}}}{2}$

Како на основу дефиниције $\sin$ важи да је $\sin \alpha=\frac{h}{a} \Rightarrow h=a\sin\alpha$, тако имамо да површину ромба можемо израчунати помоћу формуле: $P=a^2\sin\alpha.$

Полупречник уписане кружнице: $r_u=\frac{h}{2}$

Ако применимо косинусну теорему на троуглове $\Delta ABD$ и $\Delta ABC$:

$d_2^2=a^2+a^2-2a\cdot a\cos\alpha$

$d_1^2=a^2+a^2-2a\cdot a\cos\beta$

Како је $\alpha+\beta=180^{\circ}$ следи да је $\cos\beta=\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha$, имамо:

$d_2^2=2a^2+-2a^2cos\alpha$

$d_1^2=2a^2+2a^2\cos\alpha$

Па уколико саберемо/одузмемо ове једначине, добијамо да за дијагонале и странице важи:

$d_1^2+d_2^2=4a^2$

                                                $d_1^2-d_2^2=4a^2\cos\alpha$