Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Многоугао

Збир унутрашњих углова многоугла који има nn страница је Sn=(n−2)180∘S_n=\left( {n - 2} \right){180^ \circ }

Збир спољашњих углова је Sn′=360∘S_n'={360^ \circ }.

Број дијагонала из једног темена dn=n−3d_n=n-3.

Укупан број дијагонала је Dn=n(n−3)2D_n=\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}.

mnogougao 

Правилни многоугао

Правилни многоугао је многооугао чије су све странице и сви углови међусобно једнаки. 

Нека је код правилног многоугла: nn број страница, φ=360∘n\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} централни угао, β=360∘n\beta = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} спољашњи угао, α=180∘−β\alpha = {180^ \circ } - \beta унутрашњи угао, aa дужина странице, ror_o полупречник описане кружнице, rur_u полупречник уписане кружнице и PP површина.

pravilan mnogougao

Правилни многоуглови 

 pravilni mnogouglovi

a=2ro2−ru2=2rosin⁡φ2=2rtgφ2a = 2\sqrt {{r_o^2} - {r_u^2}} = 2r_o\sin \frac{\varphi }{2} = 2r{\rm{tg}}\frac{\varphi }{2}

P=naru2=nru2tgφ2=nro2sin⁡φ2=na2ctgφ24P = \frac{{nar_u}}{2} = n{r_u^2}{\rm{tg}}\frac{\varphi }{2} = \frac{{n{r_o^2}\sin \varphi }}{2} = \frac{{n{a^2}{\rm{ctg}}\frac{\varphi }{2}}}{4}

Многоугао са nn страница има збир унутрашњих углова Sn=(n−2)⋅180∘S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ, јер га дијагонале из једног темена деле на n−2n - 2 троугла. Збир спољашњих углова увек је 360∘360^\circ. Из једног темена полази n−3n - 3 дијагонала, а укупно их је Dn=n(n−3)2D_n = \frac{n(n - 3)}{2}: дели се са 2 јер је свака дијагонала бројана из оба своја краја.

Правилни многоугао има све странице и све углове једнаке. Његов централни угао је φ=360∘n\varphi = \frac{360^\circ}{n}, унутрашњи угао α=180∘−360∘n\alpha = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}, а површина P=naru2P = \frac{n a r_u}{2}, јер се састоји од nn једнакокраких троуглова. Не мешајте централни и унутрашњи угао: код шестоугла је први 60∘60^\circ, а други 120∘120^\circ.

r
8
1,2 m
Унутрашњи угао α
135°
Збир унутрашњих углова
1080°
Број дијагонала
20
Површина P
6,95 m²
Са више страница унутрашњи угао расте ка 180∘180^\circ, а многоугао све више личи на круг. Сива испрекидана кружница је описана, а зелена уписана; почетни осмоугао има мере пода из примера.

Плочице у облику правилних троуглова, квадрата и шестоуглова слажу се без празнина, јер им унутрашњи углови (60∘60^\circ, 90∘90^\circ и 120∘120^\circ) око заједничког темена дају тачно 360∘360^\circ. Столар из унутрашњег угла одређује под којим углом сече даске за осмоугаону сеницу.

Под осмоугаоне сенице

Дрвена сеница у дворишту има под у облику правилног осмоугла странице 1,2 m. Под којим углом се састају суседне ивице пода и колика је површина пода?

Решење

  1. За n=8n = 8 централни угао је φ=360∘8=45∘\varphi = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ, па је унутрашњи угао α=180∘−45∘=135∘\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ.
  2. Полупречник уписане кружнице добијамо из правоуглог троугла са катетом a2=0,6\frac{a}{2} = 0{,}6 m и углом φ2=22,5∘\frac{\varphi}{2} = 22{,}5^\circ код центра: ru=a2ctg⁡22,5∘≈0,6⋅2,4142≈1,4485r_u = \frac{a}{2} \operatorname{ctg} 22{,}5^\circ \approx 0{,}6 \cdot 2{,}4142 \approx 1{,}4485 m.
  3. Под се састоји од 8 једнакокраких троуглова са основицом aa и висином rur_u: P=naru2≈8⋅1,2⋅1,44852≈6,95P = \frac{n a r_u}{2} \approx \frac{8 \cdot 1{,}2 \cdot 1{,}4485}{2} \approx 6{,}95 m².

Одговор: Суседне ивице пода заклапају угао од 135∘135^\circ, а површина пода је око 6,95 m².

Задатак за вежбу

Плочица има облик правилног шестоугла странице 10 cm. Колики су њен унутрашњи угао и површина? Зашто се такве плочице слажу без празнина?

Прикажи решење

α=180∘−360∘6=120∘\alpha = 180^\circ - \frac{360^\circ}{6} = 120^\circ. Шестоугао се састоји од 6 једнакостраничних троуглова, па је P=6⋅10234=1503≈259,8P = 6 \cdot \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = 150\sqrt{3} \approx 259{,}8 cm². Око сваког темена састају се три плочице: 3⋅120∘=360∘3 \cdot 120^\circ = 360^\circ.