Полиедри

Призма

Призма је полиедар који се састоји из два $n$-тоугла (многоугла) у двема паралелним равнима и $n$-паралелограма.

$A,B,C,D,E,F,A_1,B_1,C_1,D_1,E_1,F_1$-темена призме

$AB,BC,...,EF,FA,A_1B_1,...,F_1A_1$-основне ивице

$AA_1,BB_1,...,FF_1$-бочне ивице

$ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$-доња и горња база призме

$ABA_1B_1,BCB_1C_1,...,FAF_1A_1$-бочне стране

$d_1,d_2,d_3$-дијагонале основе

$D_1,D_2,D_3$-дијагонале

$d_n$-дијагонала бочне стране

Права призма је призма чије су бочне ивице нормалне на раван основе, док код косе призме бочне ивице нису нормалне на раван основе.

Висина ( Н ) призме је дуж чији крајеви припадају равнима основа и која је нормална на њих. Код праве призме било која бочна ивица је висина призме.

Права призма је правилна ако у основи има правилан многоугао, односно једнакостраничан тругао, квадрат, правилан петоугао, правилан шестоугао...

Ознаке 

$V$ - запремина, $P$ - укупна површина, $M$ - површина омотача, $B$ - површина базе, $H$ - висина.

$P=2B+M \quad V=B \cdot H$

Паралелопипед је призма која у основи има паралелограм.

Квадар

Квадар је прав паралелопипед који у основама има правоугаонике

Нека су $a$, $b$ основне ивице, $H$ висина, $d$ дијагонала основе, а $D$ просторна дијагонала правоуглог паралелопипеда. Важи:

$B=a \cdot b$

$M=2aH+2bH$

$P=2B+M \Rightarrow P=2 (ab+aH+bH)$

$V=B \cdot H \Rightarrow V=abH$

$d^2=a^2+b^2$

$D^2=d^2+H^2=a^2+b^2+H^2$

$P_{dp}=d \cdot H$

Коцка

Коцка је квадар чије су све стране квадрати. Важи:

$B=a \cdot a=a^2$

$M=4 \cdot a^2$

$P=2B+M \Rightarrow P=2a^2+4a^2=6a^2$

$V=B \cdot H \Rightarrow V=a^2 \cdot a=a^3$

$d^2=a^2+a^2=2a^2 \Rightarrow d=a \sqrt{2}$

$D^2=d^2+a^2=3a^2 \Rightarrow D=a \sqrt{3}$

$P_{dp}=d \cdot a=a^2 \sqrt{2}$

Правилна тространа призма

Правилна тространа пирамида је призма која у основи има једнакостраничан троугао.

$B=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$M=3 \cdot aH$

$P=2B+M \Rightarrow P=2\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}+3aH$

$V=B \cdot H \Rightarrow V=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}H$

Правилна четворострана призма

Правилна четворострана призма је призма која у основи има квадрат.

$B=a^2$

$M=4 \cdot aH$

$P=2B+M \Rightarrow P=2a^2+4aH$

$V=B \cdot H \Rightarrow V=a^2H$

$d^2=a^2+a^2=2a^2 \Rightarrow d=a \sqrt{2}$

$D^2=d^2+H^2$

$P_{dp}=d \cdot H$

Правилна шестострана призма

Правилна шестострана призма је призма која у основи има правилан шестоугао.

$B=6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$M=6 \cdot aH$

$P=2B+M \Rightarrow P=2 \cdot 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}+6aH \Rightarrow P=3a^2 \sqrt{3}+6aH$

$V=B \cdot H \Rightarrow V=\frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}H$

$d_1=2a$  $d_2=2\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

$D_1^2=d_1^2+H^2$  $D_2^2=d_2^2+H^2$

$P_{dp_1}=d_1 \cdot H$    $P_{dp_2}=d_2 \cdot H$

Паралелопипед

Паралелопипед је призма која у основи има паралелограм.

 $B=ab\sin\alpha$ или

$B=2P_{\Delta}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-d)}$

где је $s=\frac{a+b+d}{2}$, a $d$ дужа или краћа дијагонала основе.

$M=2aH+2bH$

$P=2B+M$

$V=B \cdot H$

$D_1=d_1^2+H^2$        $D_2=d_2+H^2$

$P_{dp_1}=d_1 \cdot H$        $P_{dp_2}=d_2 \cdot H$

$d_n^2=a^2+H^2$ важи за дијагоналу бочне стране сваке призме!

Пирамида

Пирамида је полиедар који има $n+1$ страну од којих је једна $n$-тоугао (многоугао) и $n$ троуглова.

$A,B,C,D,E,F$ -темена основе

$S$ -врх пирамиде

$ABCDEF$ -основа (база) пирамиде

$AB,BC,CD,DE,EF,FA$ -ивице основе

$SA,SB,SC,SD,SE,SF$ -бочне ивице

$ABS,BCS,CDS,DES,EFS,FAS$ -бочне стране

$H$ -висина пирамиде

$h$ -висина бочне стране (апотема)

$FDS$ -један дијагонални пресек

База (основа) пирамиде је $n$-тоугао (многоугао), а бочне стране (троуглови) чине омотач пирамиде.

Пирамида је права ако су јој све бочне ивице једнаке и ако се око њене основе може описати круг чији је центар у подножју висине пирамиде.

Висина пирамиде је дуж која спаја врх пирамиде и његову нормалну пројекцију на раван основе.

Висина бочне стране (апотема) је дуж која из врха пирамиде пада нормално на основну ивицу пирамиде.

Дијагонални пресек пирамиде је пресек пирамиде који садржи две несуседне бочне ивице пирамиде.

Ознаке 

$V$ - запремина, $P$ - укупна површина, $M$ - површина омотача, $B$ - површина базе, $H$ - висина, $h$ - апотема

$P=B+M \quad V=\frac{B \cdot H}{3}$

Правилна пирамида у основи има правилан многоугао, једнакостраничан троугао, квадрат, правилан петоугао, правилан шестоугао...

Правилна тространа пирамида

Правилна тространа пирамида је пирамида која у основи има једнакостраничан троугао.

$B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$M=3 \cdot \frac{a \cdot h}{2}$

$P=B+M \Rightarrow P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3 \cdot \frac{ah}{2}$

$V=\frac{1}{3}B \cdot H \Rightarrow V=\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H$

Где је $\omega$ нагиб бочне ивице према равни основе.

Где је $\varphi$ нагиб бочне стране према равни основе.

Правилна четворострана пирамида

Правилна четворострана пирамида је пирамида која у основи има квадрат.

$B=a^2$

$M=4 \cdot \frac{a \cdot h}{2}$

$P=B+M \Rightarrow P=a^2+2ah$

$V=\frac{1}{3}B \cdot H \Rightarrow V=\frac{a^2H}{3}$

Где је $\omega$ нагиб бочне ивице према равни основе.

Где је $\varphi$ нагиб бочне стране према равни основе.

Правилна шестострана пирамида

Правилна шестострана пирамида је пирамида која у основи има правилан шестоугао.

$B=6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$M=6 \cdot \frac{a \cdot h}{2}$

$P=B+M \Rightarrow P=6 \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}+6 \cdot \frac{ah}{2}$

$V=\frac{1}{3}B \cdot H \Rightarrow V=\frac{1}{3}6\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot H$

Где је $\omega$ нагиб бочне ивице према равни основе.

Где је $\varphi$ нагиб бочне стране према равни основе.

Зарубљена пирамида

Зарубљена пирамида је полиедар који има $n+2$ стране од којих су две хомотетични $n$-тоуглови у односу на неку тачку $S$, а све остале стране су трапези чије се паралелне странице поклапају са одговарајућим страницама $n$-тоуглова.

$A,B,C,D,E$ -темена доње основе

$A_1,B_1,C_1,D_1,E_1$ -темена горње основе

$ABCDE$ -доња база зарубљене пирамиде

$A_1B_1C_1D_1E_1$ -горња база зарубљене пирамиде

$AB,BC,CD,DE,EA$ -ивице доње основе

$A_1B_1,B_1C_1,C_1D_1,D_1E_1,E_1A_1$ -ивице горње основе

$AA_1,BB_1,CC_1,DD_1,EE_1$ -бочне ивице

$ABA_1B_1,BCB_1C_1,CDC_1D_1,DED_1E_1,EAE_1A_1$ -бочне стране

$H$ -висина зарубљене пирамиде

$h$ -висина бочне стране (апотема)

$ACA_1C_1$ -један дијагонални пресек

Базе зарубљене пирамиде су хомотетични $n$-тоуглови, а бочне стране (трапези) чине омотач зарубљене пирамиде.

Зарубљена пирамида је права ако су све бочне ивице једнаке и ако је права која садржи центре описаних кружница око база нормална на равни основа.

Висина зарубљене пирамиде је дуж која спаја центре описаних кружница око база зарубљене пирамиде.

Дијагонални пресек зарубљене пирамиде је пресек који садржи две несуседне бочне ивице пирамиде.

Ознаке 

$V$ - запремина, $P$ - укупна површина, $M$ - површина омотача, $B_1$ - површина доње базе, $B_2$ - површина горње базе $H$ - висина, $h$ - апотема

$P=B_1+B_2+M \quad V=\frac{H}{3}(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2)$

Правилна тространа зарубљена пирамида

Правилна тространа зарубљена пирамида је пирамида која у основама има хомотетичне једнакостраничне троуглове.

$B_1=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$B_2=\frac{b^2 \sqrt{3}}{4}$

$M=3 \cdot \frac{a+b}{2}h$

$P=B_1+B_2+M \Rightarrow P=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}+\frac{b^2 \sqrt{3}}{4}+3\frac{a+b}{2}h$

$V=\frac{H}{3}(B_1+ \sqrt{B_1B_2}+B_2)$

Где је $\varphi$ нагиб бочне стране према равни основе.

Где је $\omega$ нагиб бочне ивице према равни основе.

Правилна четворострана зарубљена пирамида

Правилна четворострана зарубљена пирамида је пирамида која у базама има хомотетичне квадрате.

$B_1=a^2$

$B_2=b^2$

$M=4 \cdot \frac{a+b}{2}h$

$P=B_1+B_2+M \Rightarrow P=a^2+b^2+4 \cdot \frac{a+b}{2}h$

$V=\frac{H}{3}(B_1+ \sqrt{B_1B_2}+B_2)$

Где је $\varphi$ нагиб бочне стране према равни основе.

Где је $\omega$ нагиб бочне ивице према равни основе.

Правилна шестострана зарубљена пирамида

Правилна шестострана зарубљена пирамида је пирамида која у базама има правилне хомотетичне шестоуглове.

$B_1=6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$B_2=6 \cdot \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}$

$M=6 \cdot \frac{a+b}{2}h$

$P=B_1+B_2+M \Rightarrow P=3\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}+3\frac{b^2 \sqrt{3}}{2}+6\frac{a+b}{2}h$

$V=\frac{H}{3}(B_1+ \sqrt{B_1B_2}+B_2)$

Где је $\varphi$ нагиб бочне стране према равни основе.

Где је $\omega$ нагиб бочне ивице према равни основе.