Троугао

Збир две странице у троуглу већи је од треће сранице, а разлика две странице у троуглу мања је од треће странице

$a + b > c,{\rm{ }}a - b < c$.

Збир унутрашњих углова у троуглу је $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, а збир спољашњих углова је ${\alpha _1} + {\beta _1} + {\gamma _1} = 360^\circ$.

Спољашњи угао једног угла троугла једнак је збиру остала два угла троугла, тј. ${\alpha _1} = \beta + \gamma$.

Четири значајне тачке троугла

Тежиште

Тежишна линија  (медијана) троугла, у ознаци $t_a,t_b,t_c$, је дуж одређена теменом троугла и средином наспрамне странице.
Тежишне линије троугла секу се у једној тачки, тачки Т коју називамо тежиште троугла, и подељене су том тачком у односу 2:1 (посматрајући од темена).

$AT:AT_1=2:1$, $BT:BT_1=2:1$, $CT:TC_1=2:1$

Дужина тежишне дужи ${t_a}$ која одговара страници $a$ је

$${t_a} = \frac{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}} }}{2}$$

Центар уписане кружнице

Симетрала угла троугла је права која полови унутрашњи угао троугла. Симетрале углова троугла $s_a,s_b$ и $s_c$ секу се у једној тачки, центру уписане кружнице, тачки $S$.

Дужина одсечка симетрале угла $\alpha$, одређеног теменом и тачком пресека те симетрале и наспрамне странице, је

$${l_\alpha } = \frac{{\sqrt {bc\left( {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right)} }}{{b + c}}$$

Полупречник кружнице уписане у троугао је

$$r_u = \sqrt {\frac{{\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)}}{p},} {\rm{ }}s = \frac{{a + b + c}}{2}$$

Ортоцентар

Висина троугла је дуж одређена теменом троугла и подножјем нормале спуштене из тог темена на наспрамну страницу троугла.

Висине троугла секу се у једној тачки, ортоцентру.

Дужина висине која одговара страници $a$ је 

${h_c} = a\sin \beta = b\sin \alpha$.

Центар описане кружнице

Симетрала странице троугла је права нормална на страницу троугла у њеној средишњој тачки.

Симетрале страница троугла $s_a,s_b$ и $s_c$ секу се у једној тачки, центру описане кружнице, тачки $O$.

Полупречник кружнице описане око троугла је  

$$r_o= \frac{{a + b + c}}{{8\cos \frac{a}{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}}}.$$

Ако је троугао једнакокрак, онда је висина, тежишна линија, симетрала угла и симетрала странице, спуштене на основицу троугла, поклапају па се и све значајне тачке троугла налазе на тој прави.

Код једнакостраничног троугла $\left( {a = b = c} \right)$ центри уписане и описане кружнице, тежиште и ортоцентар се поклапају.

Средња линија троугла

Средња линија троугла је дуж одређена срединама двеју страница троугла. Она је паралелана трећој страници троугла и једнака половини њене дужине.

$MN||AB$ и $MN=\frac{AB}{2}$

Обим и површина троугла

Обим $O$ и површина $P$ троугла су 

$O = a + b + c$,

$$P = \frac{{a{h_a}}}{2} = rs = \frac{{abc}}{{4R}}.$$

Херонова формула

$P = \sqrt {s\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)} ,{\rm{ }}s = \frac{{a + b + c}}{2}$

Подударност троуглова

Троуглови $ABC$ и ${A_1}{B_1}{C_1}$ су подударни, у ознаци $\Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$ ако и само ако је 

$AB = {A_1}{B_1}, BC = {B_1}{C_1}, CA = {C_1}{A_1}$

$\measuredangle A = \measuredangle {A_1}, {\text{ }}\measuredangle B = \measuredangle {B_1}{\quad}и{\quad}\measuredangle C = \measuredangle {C_1}$

Први став (ССС)

Ако су све странице странице једнаке одговарајућим страницама другог троугла, онда су та два троугла подударна

$AB = {A_1}{B_1},{\rm{ }}BC = {B_1}{C_1},{\quad}и{\quad}CA = {C_1}{A_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

Други став (СУС)

Ако су две странице једног троугла једнаки двема страницама и захваћеном углу другог троугла, онда су та два троугла подударна

$AB = {A_1}{B_1}{\rm{ }}AC = {A_1}{C_1}{\quad}и{\quad}\measuredangle {A} = \measuredangle {A_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$.

Трећи став (УСУ)

Ако су страница и на њу налегли углови једног троугла једнаки страници и на њу налеглим угловима другог троугла, онда су та два троугла подударна

$AB = {A_1}{B_1}, \measuredangle A = \measuredangle {A_1}{\quad}и{\quad}\measuredangle B = \measuredangle {B_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

Четврти став (ССУ)

Ако су две странице и угао наспрам веће од њих једног троугла једнаки двема страницама и углу наспарам веће од њих другог троугла, онда су та два троугла подударна

$AC = {A_1}{C_1}, BC = {B_1}{C_1}, BC > AC,{\quad}и{\quad}\measuredangle A = \measuredangle {A_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \cong \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$.

Сличност троуглова

Троуглови $ABC$ и ${A_1}{B_1}{C_1}$ су слични, у ознаци $\Delta ABC \sim \Delta{A_1}{B_1}{C_1}$, ако и само ако је 

$\measuredangle A = \measuredangle A, \measuredangle B = \measuredangle {B_1},{\text{ }}\measuredangle C = \measuredangle {C_1}$,

и

$AB:{A_1}{B_1} = BC:{B_1}{C_1} = CA:{C_1}{A_1}$

Први став

Ако су два угла једног троугла једнака сa два угла другог троугла, онда су ти троуглови слични

$\measuredangle A = \measuredangle {A_1}$ и $\measuredangle B = \measuredangle {B_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

Други став

Ако су две странице једног троугла пропорционалне двема старницама другог троугла и углови између тих страница једнаки, онда су ти троуглови слични

$\measuredangle A = \measuredangle {A_1}{\quad}и{\quad}AB:{A_1}{B_1} = AC:{A_1}{C_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

Трећи став

Ако су три странице једног троугла пропорционалне трима страницама другог троугла, онда су ти троуглови слични

$AB:{A_1}{B_1} = BC:{B_1}{C_1} = CA:{C_1}{A_1} \Leftrightarrow \Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

Четврти став

Ако су две странице једног троугла пропорционалне са одговарајућим страницама другог троугла, углови наспрам двеју од тих одговарајућих страница једнаки, а наспрам других двеју страница су углови исте врсте, тј. Оба угла су или оштра, или права или тупа, онда су ти троуглови слични 

$AB:{A_1}{B_1} = BC:{B_1}{C_1}$ и $\measuredangle A = \measuredangle {A_1}$ и 

$\measuredangle C{\text{ }}$ и ${\text{ }}\measuredangle {C_1}$ су исте врсте $\Leftrightarrow \Delta ABC \sim \Delta {A_1}{B_1}{C_1}$

Правоугли троугао

Нека су $a$ и $b$ катете, а $c$ хипотенуза правоуглог троугла. Важи

Питагорина теорема

${a^2} + {b^2} = {c^2}$

Ако је $h$ висина која одговара хипотенузи, $p$ и $q$ нормалне пријекције катета $a$ и $b$ на хипотенузу $(p+q=c)$, онда је 

${h^2} = pq,\quad{a^2} = pc,\quad{b^2} = qc$

Дефиниције тригонометријских функција у правом троуглу

Тригонометријске функције дефинисане су у правоуглом троуглу.

Притом,

$\sin$ (синус) представља однос наспрамне катете и хипотенузе,

$\cos$ (косинус) је однос налегле катете и хипотенузе,

${\text{tg}}$ (тангенс) однос наспрамне и налегле катете, а

${\text{ctg}}$ (котангенс) однос налегле и наспрамне катете.

Нека су $a$ и $b$ катете, $c$ хипотенуза , а $\alpha$ и $\beta$ углови који одговарају катетама $a$ и $b$. Тада важи

$$\alpha + \beta = {90^ \circ }$$

$$\sin \alpha = \cos \beta = \frac{a}{c}$$

$$\cos \alpha = \sin \beta = \frac{b}{c},$$

$${\text{tg}}\alpha = {\text{ctg}}\beta = \frac{a}{b}$$

$${\text{ctg}}\alpha = {\text{tg}}\beta {\text{ = }}\frac{b}{a}.$$

Површина правоуглог троугла

$$P = \frac{{ab}}{2} =\frac{ch_c}{2}= \frac{{{a^2}tg\beta }}{2} = \frac{{{c^2}\sin 2\beta }}{4}$$

Полупречник описане кружнице $r_o=\frac{c}{2}$

Једнакостранични троугао

Једнакостраничан тругао је троугао чије су све странице једнаке. Па су и сви углови овог троугла једнаки и једнаки $60^{\circ}.$

Обим: $O = 3a$

Код једнакостраничног троугла све четири значајне тачке се поклапају, па важи: ${s_a} = {s_\alpha } = h = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Полупречник уписане кружнице: $r_u=\frac{1}{3}h= \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$

Полупречник описане кружнице: $r_o =\frac{2}{3}h= \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Површина: $P = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Једнакокраки троугао

Једнакокраки троугао је троугао чије су две странице једнаке. Те странице називамо краци једнакокраког троугла, док трећу страницу називамо основицом. Како овај троугао има две једнаке странице има и два једнака угла, углови на основици.

Важи Питагорина теорема: $b^2=h_a^2+(\frac{a}{2})^2$

Обим: $O=a+2b$

Површина: $P=\frac{a \cdot h_a}{2}=\frac{b \cdot h_b}{2}$

$\sin\alpha=\frac{h_a}{b} \Rightarrow h_a=b \sin\alpha$

$P=\frac{ab\sin\alpha}{2}$

Разностраничан троугао

Нека су $a$, $b$ и $c$ странице, а $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ oдговарајући углови разностраничног троугла. Полуобим је $s = \frac{{a + b + c}}{2}$, полупречник описане кружнице $r_o$, а полупречник уписане кружнице $r_u$.

$O=a+b+c$

$P=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$

$\sin \alpha=\frac{h_c}{b} \Rightarrow h_c=b\sin \alpha$

$P=\frac{bc\sin\alpha}{2}=\frac{ab\sin\gamma}{2}=\frac{ac\sin\beta}{2}$

Херонов образац $P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$P=s \cdot r_u$

$P=\frac{abc}{4r_o}$

Синусна теорема

$$\frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{c}{{\sin \gamma }} = 2r_o.$$

Примењујемо је за одређивање елемената троугла уколико су нам позната два угла троугла и страница    наспрам једног  од тих углова, или у случају када су нам познате две странице троугла и угао наспрам једне од њих.

Косинусна теорема

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha$

${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos \beta$

${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \gamma$

Примењујемо је за одређивање елемената троугла уколико су нам познате две странице и угао који је њима захваћен, или у случају када су нам познате све странице троугла.

Тангентна теорема

$$\frac{{a - b}}{{a + b}} = \frac{{tg\frac{{\alpha - \beta }}{2}}}{{tg\frac{{\alpha + \beta }}{2}}} = \frac{{tg\frac{{\alpha - \beta }}{2}}}{{ctg\frac{\gamma }{2}}}$$

Теорема о половини угла

$$tg\frac{\gamma }{2} = \sqrt {\frac{{\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)}}{{s\left( {s - c} \right)}},}$$

$$\sin \frac{\gamma }{2} = \sqrt {\frac{{\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)}}{{ab}},}$$

$$\cos \frac{\gamma }{2} = \sqrt {\frac{{s\left( {s - c} \right)}}{{ab}}.}$$

Формула Молвајдеа

$$\frac{{a + b}}{c} = \frac{{\cos \frac{{\alpha - \beta }}{2}}}{{\sin \frac{\gamma }{2}}} = \frac{{\cos \frac{{\alpha - \beta }}{2}}}{{cos\frac{{\alpha + \beta }}{2}}},$$

$$\frac{{a - b}}{c} = \frac{{\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}}}{{\cos \frac{\gamma }{2}}} = \frac{{\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}}}{{\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}}}.$$

Теорема о пројекцијама

$c = a\cos \beta + b\cos \alpha$

Остале формуле

$$r_o = \frac{s}{{4\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}}},{\text{ }}s = \frac{{a + b + c}}{2},$$

$$r_u = stg\frac{\alpha }{2}tg\frac{\beta }{2}tg\frac{\gamma }{2},$$

$$r_u = 4r_o\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2},$$

$$r_u = \left( {s - c} \right)tg\frac{\gamma }{2},$$

$${h_c} = a\sin \beta + b\sin \alpha ,$$

$${m_c} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + 2ab\cos \gamma } }}{2},$$

$${l_\gamma } = \frac{{2ac\cos \frac{\beta }{2}}}{{a + b}} = \frac{{2bc\cos \frac{\alpha }{2}}}{{b + c}},$$

$$P = \frac{{ab\sin \gamma }}{2},\quad P = 2{r_o^2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$$

$$P = {c^2}\frac{{\sin \alpha \sin \beta }}{{2\sin \gamma }} = {c^2}\frac{{\sin \alpha \sin \beta }}{{2\sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}.$$