Геометрија

Обртна тела

Лопта

Сфера је скуп тачака простора које су једнако удаљене од дате тачке коју називамо центар сфере.

Лопта је део простора ограничен сфером.

lopta bez bojenja

Нека је $R$ полупречник лопте. Важи 

$P = 4{R^2}\pi$

$V = \frac{{4{R^3}\pi }}{3}$

 

Калота

lopta kalota nova

$P_K=2R\pi h$


Одсечак

loptin odsecak3

$P_O=P_K+r^2\pi$

$V_O=\frac{1}{3}h^2\pi(3R-h)$

 

Лоптин исечак

 lopta isecak


$P_I=M_{kupe}+P_{kalote}=rR\pi+2R\pi h$

$V_I=\frac{2}{3}R^2\pi h$

Лоптин слој

lopta sloj obe polovine


$P_S=2R\pi h$

Ваљак

Ваљак је део простора ограничен кружном цилиндричном површи и двема подударним кружним површима.

Прав ваљак је ваљак чије су бочне ивице нормалне на раван основе, док код косог ваљка бочне ивице нису нормалне на раван основе.

prav i kosi valjak

Висина ( Н ) ваљка је дуж чији крајеви припадају равнима основа и која је нормална на њих.

Обртно тело је геометријско тело које настаје обртањем произвољне равне фигуре око осе $s$.

Прав ваљак је обртно тело које настаје ротацијом правоугаоника око осе која садржи једну његову страницу.

prav valjak

 

mreza valjka

$B=r^2\pi$

$M=2r\pi \cdot H$

$P=2B+M \Rightarrow P=2r^2\pi+2r\pi H=2r\pi (r+H)$

$V=B \cdot H \Rightarrow V=r^2\pi H$

Осни пресек ваљка:

osno presek valjka

$P_{op}=2r \cdot H$

 

Купа

Купа је део простора ограничен кружном конусном површи и кругом.

Права купа је купа чије су све изводнице ( $s$ ) међусобно једнаке, заклапају подударне углове са равни основе и чије подножје висине пада у центар кружнице која се налази у бази, док код косе купе висина не пада у центар базе.

prava kosa kupa


Висина ( Н )
купе је дуж која из врха купе пада нормално на раван основе. Код праве купе подножје висине је у центру кружнице која се налази у бази, док код косе није.

Права купа је обртно тело које настаје ротацијом правоуглог троугла око осе која садржи једну његову катету.

prava kupa

mreza kupe

$B=r^2\pi$

$M=rs\pi$

$P=B+M \Rightarrow P=r^2\pi+rs\pi=r\pi (r+s)$

$V=\frac{1}{3}B \cdot H \Rightarrow V=\frac{1}{3}r^2\pi H$

Осни пресек купе:

osni presek kupe1

$P_{op}=\frac{2r \cdot H}{2}=rH$

osni presek kupe2

$s^2=H^2+r^2$

 

Зарубљена купа

Зарубљена купа је део простора ограничен кружном конусном површи и два круга који су хомотетични у односу на врх конуса.

zarubljena kupa

$r_1$-полупречник доње основе

$r_2$-полупречнок горње основе

$H$-висина зарубљене купе

$s$-изводница зарубљене купе

Зарубљена купа је обртно тело које настаје ротирањем правоуглог трапеза око његовог краћег крака.

zarubljena kupa1

mreza zarubljene kupe


$B_1=r_1^2\pi$

$B_2=r_2^2\pi$

$M=s\pi(r_1+r_2)$

$P=B_1+B_2+M \Rightarrow P=r_1^2\pi+r_2^2\pi+s\pi(r_1+r_2)=\pi(r_1^2+r_2^2+s(r_1+r_2))$

$V=\frac{H}{3}(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2) \Rightarrow V=\frac{H\pi}{3}(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$

Осни пресек зарубљене купе:

osni presek zarubljene kupe1

$P_{op}=\frac{2r_1+2r_2}{2} \cdot H=(r_1+r_2)H$

osni presek zarubljene kupe2

$s^2=H^2+(r_1-r_2)^2$

 

Лопта и полиедри

Призма уписана у лопту

Да би око призме могли описати лопту потребно је и довољно да призма буде права и да се око њене основе може описати круг.

Око призме описујемо ваљак, па око ваљка лопту!

 

-Правилна тространа призма уписана у лопту:

lopta oko prizme

у основи је једнакостраничан тругао: $r_o=\frac{2}{3}h_a=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

jst trougao

-Правилна четворострана призма уписана у лопту

у основи је квадрат: $r_o=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

kvadrat2

-Правилна шестострана призма уписана у лопту

у основи је правилан шестоугао: $r_o=a$

pravilan sestougao1

-Тространа призма која у основи има разностраничан троугао уписана у лопту

у основи је произвољан троугао: $P_{\Delta}=... \quad P_{\Delta}=\frac{abc}{4r_o}$

proizvoljan trougao


Пирамида уписана у лопту

Да би се око пирамиде могла описати лопта потребно је и довољно да се око њене основе може описати круг.

Око пирамиде описујемо купу, а затим око купе лопту!

-Правилна четворострана пирамида уписана у лопту

lopta oko piramide

$r_o$- полупречник кружнице описане око основе

 

 

 

Лопта уписана у призму

Да би се у призму могла уписати лопта потребно је и довољно да се у њен нормално пресек може уписати круг чији је пречник једнак висини призме.


-Лопта уписана у призму која у основи има разностраничан троугао

lopta u prizmi

у основи је разностраничан троугао: $P_{\Delta}=... \quad \quad P_{\Delta}=r_u\cdot s$ где је $s=\frac{a+b+c}{2}$

raznostranican trougao

-Лопта уписана у правилну тространу призму
у основи је једнакостранични троугао: $r_u=\frac{1}{3}h_a=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

jst trougao1

-Лопта уписана у правилну четворострану призму

у основи је квадрат: $r_u=\frac{a}{2}$

kvadrat3

'Лопта уписана у правилну шестострану призму

у основи је правилан шестоугао: $r_u=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

pravilan sestougao2

 

 

Лопта уписана у пирамиду

Да би у пирамиду могли уписати лопту потребно је и довољно да нагибни углови бочних страна према равни основе буду једнаки.

-Лопта уписана у правилну четворострану пирамиду

lopta u piramidi

lopta u piramidi1

Правилни полиедри 

Полиедар је правилан, ако су његове стране правилни многоуглови са истим бројемстраница и ако су у сваком темену састаје исти број ивица.

Постоји тачно пет различитих полиедара.

Ознаке

Нека је $a$ дужина ивице, $d$ број ивица које се састају у једном темену (број ивичних углова са тим теменом), $k$ број страница сваке пљосни (стране многоугла), $s$ број страна, $t$ број темена, а $i$ укупан број ивица полиедра.

Ојлерова формула

$s + t - i = 2$

Важи и 

$ks = dt = 2i$.

pravilni poliedri

 pravilni poliedri1

  pravilni poliedri2

pravilni poliedri3