Геометрија

Паралелограми

Основна својства

  1. Наспрамне стране су једнаке $a=b, \text{ }c=d$
  2. наспрамне стране су паралелне $a||b, \text{ }c||d$
  3. дијагонале се полове тачком пресека
  4. наспрамни углови су једнаки $\alpha=\gamma, \text{ } \beta=\delta$

Ако важи бар једно од наведених својстава, онда важе и сва остала.

paralelogram1

Површина паралелограма: $P=ah_a=bh_b$

Како на основу дефиниције $\sin$ важи да је $\sin \alpha=\frac{h_a}{b} \Rightarrow h_a=b\sin\alpha$, тако имамо да површину можемо израчунати помоћу формуле: $P=ab\sin\alpha.$

Ако применимо косинусну теорему на троуглове $\Delta ABD$ и $\Delta ABC$:

$d_2^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha$

$d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos\beta$

Како је $\alpha+\beta=180^{\circ}$ следи да је $\cos\beta=\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha$, имамо:

$d_2^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha$

$d_1^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha$

Па уколико саберемо/одузмемо ове једначине, добијамо да за дијагонале и странице важи:

$d_1^2 + d_2^2 = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$

                                           $d_1^2-d_2^2=4ab\cos\alpha$

Правоугаоник

Паралелограм је правоугаоник ако су

  1. ако су сви углови прави или
  2. ако су дијагонале једнаке.

Из једног услова следи други.

pravougaonik1

Важи Питагорина теорема: $a^2+b^2=d^2$

Површина правоугаоника је : $P=a\cdot b$

Полупречник описане кружнице око правоугаоника је $r_o=\frac{d}{2}$


Квадрат

Квадрат је правоугаоник код којег је $a = b$.

kvadrat

Важи Питагорина теорема: $a^2+a^2=d^2$

                                              $2a^2=d^2$

                                              $d=a\sqrt{2}$

                                              $a=\frac{\sqrt{2}}{2}d$

Површинa квадрата је: $P=a^2=\frac{d^2}{2}$

Полупречник описане кружнице око квадрата: $r_o=\frac{d}{2}$

Полупречник уписане кружнице у квадрат: $r_u=\frac{a}{2}$


Ромб

Ромб је паралелограм који има

  1. све странице једнаке,
  2. узајамно нормалне дијагонале,
  3. дијагонале које се полове.

Сваки од ових услова следи из остала два.

romb1

Важи Питагорина теорема: $(\frac{d_1}{2})^2+(\frac{d_2}{2})^2=a^2$

Површина $P = ah = \frac{{{d_1}{d_2}}}{2}$

Како на основу дефиниције $\sin$ важи да је $\sin \alpha=\frac{h}{a} \Rightarrow h=a\sin\alpha$, тако имамо да површину ромба можемо израчунати помоћу формуле: $P=a^2\sin\alpha.$

Полупречник уписане кружнице: $r_u=\frac{h}{2}$

Ако применимо косинусну теорему на троуглове $\Delta ABD$ и $\Delta ABC$:

$d_2^2=a^2+a^2-2a\cdot a\cos\alpha$

$d_1^2=a^2+a^2-2a\cdot a\cos\beta$

Како је $\alpha+\beta=180^{\circ}$ следи да је $\cos\beta=\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha$, имамо:

$d_2^2=2a^2+-2a^2cos\alpha$

$d_1^2=2a^2+2a^2\cos\alpha$

Па уколико саберемо/одузмемо ове једначине, добијамо да за дијагонале и странице важи:

$d_1^2+d_2^2=4a^2$

                                                $d_1^2-d_2^2=4a^2\cos\alpha$