Геометрија

Полиедри

Призма

Призма је полиедар који се састоји из два $n$-тоугла (многоугла) у двема паралелним равнима и $n$-паралелограма.

prizma1

$A,B,C,D,E,F,A_1,B_1,C_1,D_1,E_1,F_1$-темена призме

$AB,BC,...,EF,FA,A_1B_1,...,F_1A_1$-основне ивице

$AA_1,BB_1,...,FF_1$-бочне ивице

$ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$-доња и горња база призме

$ABA_1B_1,BCB_1C_1,...,FAF_1A_1$-бочне стране

$d_1,d_2,d_3$-дијагонале основе

$D_1,D_2,D_3$-дијагонале

$d_n$-дијагонала бочне стране

 

Права призма је призма чије су бочне ивице нормалне на раван основе, док код косе призме бочне ивице нису нормалне на раван основе.

Висина ( Н ) призме је дуж чији крајеви припадају равнима основа и која је нормална на њих. Код праве призме било која бочна ивица је висина призме.

prava i kosa prizma

Права призма је правилна ако у основи има правилан многоугао, односно једнакостраничан тругао, квадрат, правилан петоугао, правилан шестоугао...

Ознаке 

$V$ - запремина, $P$ - укупна површина, $M$ - површина омотача, $B$ - површина базе, $H$ - висина.

$P=2B+M \quad V=B \cdot H$

Паралелопипед је призма која у основи има паралелограм.

 

Квадар

Квадар је прав паралелопипед који у основама има правоугаонике

Нека су $a$, $b$ основне ивице, $H$ висина, $d$ дијагонала основе, а $D$ просторна дијагонала правоуглог паралелопипеда. Важи:

kvadar1

$B=a \cdot b$

$M=2aH+2bH$

$P=2B+M \Rightarrow P=2 (ab+aH+bH)$

$V=B \cdot H \Rightarrow V=abH$

kvadar2

$d^2=a^2+b^2$

$D^2=d^2+H^2=a^2+b^2+H^2$

$P_{dp}=d \cdot H$

 

Коцка

Коцка је квадар чије су све стране квадрати. Важи:

kocka1

$B=a \cdot a=a^2$

$M=4 \cdot a^2$

$P=2B+M \Rightarrow P=2a^2+4a^2=6a^2$

$V=B \cdot H \Rightarrow V=a^2 \cdot a=a^3$

kocka2

$d^2=a^2+a^2=2a^2 \Rightarrow d=a \sqrt{2}$

$D^2=d^2+a^2=3a^2 \Rightarrow D=a \sqrt{3}$

$P_{dp}=d \cdot a=a^2 \sqrt{2}$

 

Правилна тространа призма

Правилна тространа пирамида је призма која у основи има једнакостраничан троугао.

pravilna trostrana prizma1

$B=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$M=3 \cdot aH$

$P=2B+M \Rightarrow P=2\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}+3aH$

$V=B \cdot H \Rightarrow V=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}H$


Правилна четворострана призма

Правилна четворострана призма је призма која у основи има квадрат.

pravilna cetvorostrana prizma

 

$B=a^2$

$M=4 \cdot aH$

$P=2B+M \Rightarrow P=2a^2+4aH$

$V=B \cdot H \Rightarrow V=a^2H$

pravilna cetvorostrana prizma1

$d^2=a^2+a^2=2a^2 \Rightarrow d=a \sqrt{2}$

$D^2=d^2+H^2$

$P_{dp}=d \cdot H$



Правилна шестострана призма

Правилна шестострана призма је призма која у основи има правилан шестоугао.

pravilna sestostrana prizma

$B=6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$M=6 \cdot aH$

$P=2B+M \Rightarrow P=2 \cdot 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}+6aH \Rightarrow P=3a^2 \sqrt{3}+6aH$

$V=B \cdot H \Rightarrow V=\frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}H$

pravilna sestostrana prizma1

$d_1=2a$  $d_2=2\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

$D_1^2=d_1^2+H^2$  $D_2^2=d_2^2+H^2$

$P_{dp_1}=d_1 \cdot H$    $P_{dp_2}=d_2 \cdot H$

 

 

Паралелопипед

Паралелопипед је призма која у основи има паралелограм.

paralelopiped4

 

 

 $B=ab\sin\alpha$ или

$B=2P_{\Delta}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-d)}$

где је $s=\frac{a+b+d}{2}$, a $d$ дужа или краћа дијагонала основе.

$M=2aH+2bH$

$P=2B+M$

$V=B \cdot H$

 paralelopiped3

$D_1=d_1^2+H^2$        $D_2=d_2+H^2$

$P_{dp_1}=d_1 \cdot H$        $P_{dp_2}=d_2 \cdot H$

 

 

dijagonala bocne strane

$d_n^2=a^2+H^2$ важи за дијагоналу бочне стране сваке призме!


Пирамида

Пирамида је полиедар који има $n+1$ страну од којих је једна $n$-тоугао (многоугао) и $n$ троуглова.

piramida

$A,B,C,D,E,F$ -темена основе

$S$ -врх пирамиде

$ABCDEF$ -основа (база) пирамиде

$AB,BC,CD,DE,EF,FA$ -ивице основе

$SA,SB,SC,SD,SE,SF$ -бочне ивице

$ABS,BCS,CDS,DES,EFS,FAS$ -бочне стране

$H$ -висина пирамиде

$h$ -висина бочне стране (апотема)

$FDS$ -један дијагонални пресек

 

База (основа) пирамиде је $n$-тоугао (многоугао), а бочне стране (троуглови) чине омотач пирамиде.

Пирамида је права ако су јој све бочне ивице једнаке и ако се око њене основе може описати круг чији је центар у подножју висине пирамиде.

Висина пирамиде је дуж која спаја врх пирамиде и његову нормалну пројекцију на раван основе.

prava i kosa piramida

Висина бочне стране (апотема) је дуж која из врха пирамиде пада нормално на основну ивицу пирамиде.

Дијагонални пресек пирамиде је пресек пирамиде који садржи две несуседне бочне ивице пирамиде.


Ознаке 

$V$ - запремина, $P$ - укупна површина, $M$ - површина омотача, $B$ - површина базе, $H$ - висина, $h$ - апотема

$P=B+M \quad V=\frac{B \cdot H}{3}$

 

Правилна пирамида у основи има правилан многоугао, једнакостраничан троугао, квадрат, правилан петоугао, правилан шестоугао...

 

Правилна тространа пирамида

Правилна тространа пирамида је пирамида која у основи има једнакостраничан троугао.

pravilna trostrana piramida1

$B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$M=3 \cdot \frac{a \cdot h}{2}$

$P=B+M \Rightarrow P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3 \cdot \frac{ah}{2}$

$V=\frac{1}{3}B \cdot H \Rightarrow V=\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H$

pravilna trostrana piramida2

Где је $\omega$ нагиб бочне ивице према равни основе.

 pravilna trostrana piramida3

Где је $\varphi$ нагиб бочне стране према равни основе.

pravilna trostrana piramida4


Правилна четворострана пирамида

Правилна четворострана пирамида је пирамида која у основи има квадрат.

pravilna cetvorostrana piramida1

$B=a^2$

$M=4 \cdot \frac{a \cdot h}{2}$

$P=B+M \Rightarrow P=a^2+2ah$

$V=\frac{1}{3}B \cdot H \Rightarrow V=\frac{a^2H}{3}$


pravilna cetvorostrana piramida2

Где је $\omega$ нагиб бочне ивице према равни основе.

pravilna cetvorostrana piramida3

Где је $\varphi$ нагиб бочне стране према равни основе.

pravilna cetvorostrana piramida4


Правилна шестострана пирамида

Правилна шестострана пирамида је пирамида која у основи има правилан шестоугао.

pravilna sestostrana piramida1

$B=6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$M=6 \cdot \frac{a \cdot h}{2}$

$P=B+M \Rightarrow P=6 \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}+6 \cdot \frac{ah}{2}$

$V=\frac{1}{3}B \cdot H \Rightarrow V=\frac{1}{3}6\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot H$


pravilna sestostrana piramida2

Где је $\omega$ нагиб бочне ивице према равни основе.

pravilna sestostrana piramida3

Где је $\varphi$ нагиб бочне стране према равни основе.

pravilna sestostrana piramida4


Зарубљена пирамида

Зарубљена пирамида је полиедар који има $n+2$ стране од којих су две хомотетични $n$-тоуглови у односу на неку тачку $S$, а све остале стране су трапези чије се паралелне странице поклапају са одговарајућим страницама $n$-тоуглова.

zarubljena piramida

$A,B,C,D,E$ -темена доње основе

$A_1,B_1,C_1,D_1,E_1$ -темена горње основе

$ABCDE$ -доња база зарубљене пирамиде

$A_1B_1C_1D_1E_1$ -горња база зарубљене пирамиде

$AB,BC,CD,DE,EA$ -ивице доње основе

$A_1B_1,B_1C_1,C_1D_1,D_1E_1,E_1A_1$ -ивице горње основе

$AA_1,BB_1,CC_1,DD_1,EE_1$ -бочне ивице

$ABA_1B_1,BCB_1C_1,CDC_1D_1,DED_1E_1,EAE_1A_1$ -бочне стране

$H$ -висина зарубљене пирамиде

$h$ -висина бочне стране (апотема)

$ACA_1C_1$ -један дијагонални пресек

 

Базе зарубљене пирамиде су хомотетични $n$-тоуглови, а бочне стране (трапези) чине омотач зарубљене пирамиде.

Зарубљена пирамида је права ако су све бочне ивице једнаке и ако је права која садржи центре описаних кружница око база нормална на равни основа.

Висина зарубљене пирамиде је дуж која спаја центре описаних кружница око база зарубљене пирамиде.

Дијагонални пресек зарубљене пирамиде је пресек који садржи две несуседне бочне ивице пирамиде.

 

Ознаке 

$V$ - запремина, $P$ - укупна површина, $M$ - површина омотача, $B_1$ - површина доње базе, $B_2$ - површина горње базе $H$ - висина, $h$ - апотема

$P=B_1+B_2+M \quad V=\frac{H}{3}(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2)$


Правилна тространа зарубљена пирамида

Правилна тространа зарубљена пирамида је пирамида која у основама има хомотетичне једнакостраничне троуглове.

pravilna trostrana zarubljena piramida1

$B_1=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$B_2=\frac{b^2 \sqrt{3}}{4}$

$M=3 \cdot \frac{a+b}{2}h$

$P=B_1+B_2+M \Rightarrow P=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}+\frac{b^2 \sqrt{3}}{4}+3\frac{a+b}{2}h$

$V=\frac{H}{3}(B_1+ \sqrt{B_1B_2}+B_2)$

pravilna trostrana zarubljena piramida2

Где је $\varphi$ нагиб бочне стране према равни основе.

pravilna trostrana zarubljena piramida3

Где је $\omega$ нагиб бочне ивице према равни основе.

pravilna trostrana zarubljena piramida4




Правилна четворострана зарубљена пирамида

Правилна четворострана зарубљена пирамида је пирамида која у базама има хомотетичне квадрате.

pravilna cetvorostrana zarubljena piramida1

$B_1=a^2$

$B_2=b^2$

$M=4 \cdot \frac{a+b}{2}h$

$P=B_1+B_2+M \Rightarrow P=a^2+b^2+4 \cdot \frac{a+b}{2}h$

$V=\frac{H}{3}(B_1+ \sqrt{B_1B_2}+B_2)$

pravilna cetvorostrana zarubljena piramida2

Где је $\varphi$ нагиб бочне стране према равни основе.

pravilna cetvorostrana zarubljena piramida3

Где је $\omega$ нагиб бочне ивице према равни основе.

pravilna cetvorostrana zarubljena piramida4



Правилна шестострана зарубљена пирамида

Правилна шестострана зарубљена пирамида је пирамида која у базама има правилне хомотетичне шестоуглове.

pravilna sestostrana zarubljena piramida1

$B_1=6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$B_2=6 \cdot \frac{b^2 \sqrt{3}}{4}$

$M=6 \cdot \frac{a+b}{2}h$

$P=B_1+B_2+M \Rightarrow P=3\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}+3\frac{b^2 \sqrt{3}}{2}+6\frac{a+b}{2}h$

$V=\frac{H}{3}(B_1+ \sqrt{B_1B_2}+B_2)$


pravilna sestostrana zarubljena piramida2

Где је $\varphi$ нагиб бочне стране према равни основе.

pravilna sestostrana zarubljena piramida3

Где је $\omega$ нагиб бочне ивице према равни основе.

pravilna sestostrana zarubljena piramida4