1. Решити диференцијалну једначину тоталног диференцијала $\left( {2{x^3} – x{y^2}} \right)dx + \left( {2{y^3} – {x^2}y} \right)dy = 0$.
$\underbrace {\left( {2{x^3} – x{y^2}} \right)}_Pdx + \underbrace {\left( {2{y^3} – {x^2}y} \right)}_Qdy = 0$
Како је
$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \left( {2{x^3} – x{y^2}} \right)_y^, = – 2xy$
$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \left( {2{y^3} – {x^2}y} \right)_x^, = – 2xy$
парцијални извод функције $P$ по $y$ једнак парцијалном изводу функције $Q$ по $x$, ово јесте диференцијална једначина тоталног диференцијала.
Тада постоји функција $F\left( {x,y} \right) = C$, чији је тотални диференцијал $\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial F}}{{\partial y}}dy = 0$
где је $\frac{{\partial F}}{{\partial x}}=P$ и $\frac{{\partial F}}{{\partial y}}=Q$.
С обзиром да је
$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = P = 2{x^3} – x{y^2}{\rm{ }} {\text{ }} {\text{ }} /\int {} dx$
интегралећи ову једнакост по $x$ добијамо функцију $F$.
$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx} = \int {\left( {2{x^3} – x{y^2}} \right)dx} $
Како интегралимо по $x$, $y$ представља константу. Па уместо $C$ додајемо произвољну функцију по $y$, односно $\varphi \left( y \right)$.
$F\left( {x,y} \right) = 2\frac{{{x^4}}}{4} – {y^2}\frac{{{x^2}}}{2} + \varphi \left( y \right) {\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} /\frac{\partial }{{\partial y}}$
Функцију $\varphi \left( y \right)$ је још потребно одредити, па радимо парцијални извод добијене једнакости по $y$, јер тиме добијамо $\frac{{\partial F}}{{\partial y}}$ који ћемо изједначити са $Q$.
$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = \left( {2\frac{{{x^4}}}{4} – {y^2}\frac{{{x^2}}}{2} + \varphi \left( y \right)} \right)_y^,$
$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = – \frac{{{x^2}}}{2}2y + \varphi ‘\left( y \right) = Q$
$ – {x^2}y + \varphi ‘\left( y \right) = 2{y^3} – {x^2}y$
Одавде добијамо да је $\varphi ‘\left( y \right)$
$\varphi ‘\left( y \right) = 2{y^3}{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} /\int {} dy$
интегралећи по $y$ добићемо функцију $\varphi \left( y \right)$
$\int {\varphi ‘\left( y \right)} dy = \int {2{y^3}} dy$
$\varphi \left( y \right) = 2\frac{{{y^4}}}{4} + C_1$
Коначно, тражена функција $F$
\[F\left( {x,y} \right) = \frac{{{x^4}}}{2} – \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} + \frac{{{y^4}}}{2} + C_1\]
Како је $F\left( {x,y} \right) = C$, решење полазне диференцијалне једначине је
\[\frac{{{x^4}}}{2} – \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} + \frac{{{y^4}}}{2} = C\]
2. Одреди решење диференцијалне једначине тоталног диференцијала $\left( {{x^3} + 3x{y^2}} \right)dx + \left( {{y^3} + 3{x^2}y} \right)dy = 0$ које задовољава почетни услов $T\left( {1,1} \right)$.
$\underbrace {\left( {{x^3} + 3x{y^2}} \right)}_Pdx + \underbrace {\left( {{y^3} + 3{x^2}y} \right)}_Qdy = 0$
Како је
$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \left( {{x^3} + 3x{y^2}} \right)_y^, = 3x \cdot 2y = 6xy$
$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \left( {{y^3} + 3{x^2}y} \right)_x^, = 3y \cdot 2x = 6xy$
$\frac{{\partial P}}{{\partial y}}=\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}$ ово јесте диференцијална једначина тоталног диференцијала.
$\exists F\left( {x,y} \right) = C:{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}_Pdx + \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}_Qdy = 0$
Пођимо сада од чињенице да је
$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = Q = {y^3} + 3{x^2}y{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} /\int {} dy$
интегралећи ову једнакост по $y$, добићемо функцију $F$.
$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}dy} = \int {\left( {{y^3} + 3{x^2}y} \right)dy} $
Како сада интегралимо по $y$, $x$ представља константу, па уместо $C$ сада додајемо произвољну функцију по $x$, односно $\varphi \left( x \right)$.
$F\left( {x,y} \right) = \frac{{{y^4}}}{4} + 3{x^2}\frac{{{y^2}}}{2} + \varphi \left( x \right){\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} /\frac{\partial }{{\partial x}}$
Функцију $\varphi \left( x \right)$ је потребно одредити, што ћемо учинити тако што ћемо одредити парцијални извод добијене функције $F$ по $x$ и изједначити га са $P$.
$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = \left( {\frac{{{y^4}}}{4} – 3{x^2}\frac{{{y^2}}}{2} + \varphi \left( x \right)} \right)_x^,$
$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = \frac{3}{2}{y^2}2x + \varphi ‘\left( x \right) = P$
$3{y^2}x + \varphi ‘\left( x \right) = {x^3} + 3x{y^2}$
На овај начин смо добили
$\varphi ‘\left( x \right) = {x^3}{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} /\int {} dx$
Интегралећи $\varphi ‘\left( x \right)$ по $x$, добијамо саму функцију $\varphi \left( x \right)$
$\int {\varphi ‘\left( x \right)} dx = \int {{x^3}} dx$
$\varphi \left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + C_1$
Сада је тражена функција $F$
\[F\left( {x,y} \right) = \frac{{{y^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}{y^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{4} + C_1\]
односно решење полазне диференцијалне једначине
\[\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}{y^2}}}{2} + \frac{{{y^4}}}{4} = C\]
уврштавајући почетни услов добијамо ${\text{ }} \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{4} = C {\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }} C = 2$
Коначно, партикуларно решење које задовољава почетни услов је
\[\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}{y^2}}}{2} + \frac{{{y^4}}}{4} = 2\]
3. Одреди решење диференцијалне једначине тоталног диференцијала ${e^y}dx + \left( {x{e^y} – 2y} \right)dy = 0$ које задовољава почетни услов $y\left( 1 \right) = 0$.
$\underbrace {{e^y}}_Pdx + \underbrace {\left( {x{e^y} – 2y} \right)}_Qdy = 0$
$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \left( {{e^y}} \right)_y^, = {e^y}$
$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \left( {x{e^y} – 2y} \right)_x^, = {e^y}$
$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} {\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }} \exists F\left( {x,y} \right) = C:{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}_Pdx + \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}_Qdy = 0$
$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = P = {e^y}{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} /\int {} dx$
$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx = \int {{e^y}dx} } $
$F\left( {x,y} \right) = {e^y}x + \varphi \left( y \right){\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} /\frac{\partial }{{\partial y}}$
$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = \left( {{e^y}x + \varphi \left( y \right)} \right)_y^,$
$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = x{e^y} + \varphi ‘\left( y \right) = Q$
$x{e^y} + \varphi ‘\left( y \right) = x{e^y} – 2y$
$\varphi ‘\left( y \right) = – 2y{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} /\int {} dy$
$\int {\varphi ‘\left( y \right)} dy = \int { – 2y} dy$
$\varphi \left( y \right) = – 2\frac{{{y^2}}}{2} + C_1$
\[F\left( {x,y} \right) = x{e^y} – {y^2} + C_1\]
\[x{e^y} – {y^2} = C\]
$1 \cdot {e^0} – {0^2} = C{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow{\text{ }} {\text{ }} C = 1$
\[x{e^y} – {y^2} = 1\]
4. Решити диференцијалну једначину тоталног диференцијала $\left( {2x + {e^{ – y}}} \right)dx + \left( {\cos y – x{e^{ – y}}} \right) = 0$ која задовољава почетни услов $y\left( 2 \right) = 0$.
$\underbrace {\left( {2x + {e^{ – y}}} \right)}_Pdx + \underbrace {\left( {\cos y – x{e^{ – y}}} \right)}_Q = 0$
$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \left( {2x + {e^{ – y}}} \right)_y^, = – {e^{ – y}}$
$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \left( {\cos y – x{e^{ – y}}} \right)_x^, = – {e^{ – y}}$
$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} {\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }} \exists F\left( {x,y} \right) = C:{\text{ }}{\text{ }} \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}_Pdx + \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}_Qdy = 0$
$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = 2x + {e^{ – y}}{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\int {} dx$
$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx = \int {\left( {2x + {e^{ – y}}} \right)dx} } $
$F\left( {x,y} \right) = 2\frac{{{x^2}}}{2} + {e^{ – y}}x + \varphi \left( y \right){\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\frac{\partial }{{\partial y}}$
$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = \left( {{x^2} + {e^{ – y}}x + \varphi \left( y \right)} \right)_y^, = – x{e^{ – y}} + \varphi ‘\left( y \right) = Q$
$ – x{e^{ – y}} + \varphi ‘\left( y \right) = \cos y – x{e^{ – y}}$
$\varphi ‘\left( y \right) = \cos y{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} /\int {} dy$
$\varphi \left( y \right) = \sin y + {C_1}$
\[F\left( {x,y} \right) = {x^2} + {e^{ – y}}x + \sin y + {C_1}\]
\[{x^2} + {e^{ – y}}x + \sin y = C\]
${2^2} + {e^{ – 0}} \cdot 2 + \sin 0 = C{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow{\text{ }}{\text{ }} C = 6$
\[{x^2} + {e^{ – y}}x + \sin y = 6\]
5. Решити диференцијалну једначину тоталног диференцијала $\frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{{ydx – xdy}}{{{x^2}}}$.
$\frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{{ydx – xdy}}{{{x^2}}}$
$\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}dx + \frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}dy = \frac{y}{{{x^2}}}dx – \frac{x}{{{x^2}}}dy$
$\underbrace {\left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} – \frac{y}{{{x^2}}}} \right)}_Pdx + \underbrace {\left( {\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{1}{x}} \right)}_Q = 0$
$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} – \frac{y}{{{x^2}}}} \right)_y^, = \left( {x{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^{ – \frac{1}{2}}} – y{x^{ – 2}}} \right)_y^, =$
$ {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} =x\left( { – \frac{1}{2}} \right){\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^{ – \frac{3}{2}}} \cdot 2y – {x^{ – 2}} = \frac{{ – xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} – \frac{1}{{{x^2}}}$
$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \left( {\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{1}{x}} \right)_x^, = \left( {y{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^{ – \frac{1}{2}}} + {x^{ – 1}}} \right)_x^, =$
${\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} = y\left( { – \frac{1}{2}} \right){\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^{ – \frac{3}{2}}} \cdot 2x – {x^{ – 2}} = \frac{{ – xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} – \frac{1}{{{x^2}}}$
$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} {\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }} \exists F\left( {x,y} \right) = C:{\text{ }}{\text{ }} \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}_Pdx + \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}_Qdy = 0$
$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} – \frac{y}{{{x^2}}}{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\int {} dx$
$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx = \int {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}dx – \int {\frac{y}{{{x^2}}}dx} } } = $
${\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} + {y^2} = t}\\
{2xdx = dt}\\
{xdx = \frac{{dt}}{2}}
\end{array}} \right|$
${\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} = \int {\frac{{\frac{{dt}}{2}}}{{\sqrt t }} – y\int {{x^{ – 2}}dx} } = \frac{1}{2}\frac{{{t^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} – y\frac{{{x^{ – 1}}}}{{ – 1}} + \varphi \left( y \right) = \sqrt {{x^2} + {y^2}} + \frac{y}{x} + \varphi \left( y \right)$
$F\left( {x,y} \right) = \sqrt {{x^2} + {y^2}} + \frac{y}{x} + \varphi \left( y \right){\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\frac{\partial }{{\partial y}}$
$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \frac{y}{x} + \varphi \left( y \right)} \right)_y^, = \frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}2y + \frac{1}{x} + \varphi ‘\left( y \right) = Q$
$\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{1}{x} + \varphi ‘\left( y \right) = \frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{1}{x}$
$\varphi ‘\left( y \right) = 0{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} /\int {} dy$
$\varphi \left( y \right) = {C_1}$
\[F\left( {x,y} \right) = \sqrt {{x^2} + {y^2}} + \frac{y}{x} + {C_1}\]
\[\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \frac{y}{x} = C\]
6. Одреди решење диференцијалне једначине тоталног диференцијала $\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)dx + \left( { – 1 + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)ydy = 0$ које задовољава почетни услов $T\left( {0,1} \right)$.
$\underbrace {\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)}_Pdx + \underbrace {\left( { – 1 + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)y}_Qdy = 0$
$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = x\frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}2y = \frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}$
$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = y\frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}2x = \frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}$
$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}\exists F\left( {x,y} \right) = C:{\rm{ }}\underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}_Pdx + \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}_Qdy = 0$
$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = 1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\int {} dx$
$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx = } \int {\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)} dx$
$F\left( {x,y} \right) = \int {dx + } \int {x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } dx$
${\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} + {y^2} = t}\\
{2xdx = dt}\\
{xdx = \frac{{dt}}{2}}
\end{array}} \right|$
$ {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} = x + \int {\sqrt t } dt = $
$ {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} = x + \frac{1}{2}\frac{{{{\sqrt t }^3}}}{{\frac{3}{2}}} + \varphi \left( y \right) $
$F\left( {x,y} \right) = x + \frac{{{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }^3}}}{3} + \varphi \left( y \right){\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\frac{\partial }{{\partial y}}$
$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = \frac{1}{3}\frac{3}{2}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \cdot 2y + \varphi ‘\left( y \right) = Q$
$y\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \varphi ‘\left( y \right) = \left( { – 1 + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)y$
$\varphi ‘\left( y \right) = – y{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\int {} dy$
$\varphi \left( y \right) = – \frac{{{y^2}}}{2} + {C_1}$
\[F\left( {x,y} \right) = x + \frac{{{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }^3}}}{3} – \frac{{{y^2}}}{2} + {C_1}\]
\[x + \frac{{{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }^3}}}{3} – \frac{{{y^2}}}{2} = C\]
$0 + \frac{{{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }^3}}}{3} – \frac{{{1^2}}}{2} = C{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}C = – \frac{1}{6}$
\[x + \frac{{{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }^3}}}{3} – \frac{{{y^2}}}{2} = – \frac{1}{6}\]
