Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Двойные ряды

Для произвольных целых чисел mm и n≥mn \ge m таких, что:

∑k=mnak=am+am+1+⋅⋅⋅⋅+an−1+an,\sum\limits_{k = m}^n {{a_k} = {a_m} + {a_{m + 1}} + \cdot \cdot \cdot \cdot + {a_{n - 1}} + {a_n}}, ∏k=mnak=am⋅am+1⋅⋅⋅⋅⋅an−1⋅an\prod\limits_{k = m}^n {{a_k} = {a_m} \cdot {a_{m + 1}} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot {a_{n - 1}} \cdot {a_n}}

справедливо: ∑j=kn∑k=m/n/ajk=∑k=m/n/∑j=mnajk,∏j=mn∏k=m/n/ajk=∏k=m/n/∏j=mnajk\sum\limits_{j = k}^n {\sum\limits_{k = {m^/}}^{{n^/}} {{a_{jk}} = \sum\limits_{k = {m^/}}^{{n^/}} {\sum\limits_{j = m}^n {{a_{jk}}} } } } ,\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {}&{} \end{array}\prod\limits_{j = m}^n {\prod\limits_{k = {m^/}}^{{n^/}} {{a_{jk}}} } = \prod\limits_{k = {m^/}}^{{n^/}} {\prod\limits_{j = m}^n {{a_{jk}}} }

Запись ∑k=mnak\sum_{k=m}^{n} a_k заменяет сумму am+am+1+⋯+ana_m + a_{m+1} + \dots + a_n: индекс kk пробегает по порядку все целые значения от нижнего предела mm до верхнего nn. Точно так же ∏k=mnak\prod_{k=m}^{n} a_k означает произведение am⋅am+1⋯ana_m \cdot a_{m+1} \cdots a_n. Слагаемых (или множителей) n−m+1n - m + 1, а не n−mn - m: это самая частая ошибка при подсчёте. Имя индекса не важно: ∑k=1nak\sum_{k=1}^{n} a_k и ∑i=1nai\sum_{i=1}^{n} a_i — одна и та же сумма.

Постоянный множитель выносят за знак суммы: ∑k=1nc ak=c∑k=1nak\sum_{k=1}^{n} c\,a_k = c\sum_{k=1}^{n} a_k. У произведения он выходит в степени nn: ∏k=1nc ak=cn∏k=1nak\prod_{k=1}^{n} c\,a_k = c^n\prod_{k=1}^{n} a_k. В двойной сумме ∑j∑kajk\sum_{j}\sum_{k} a_{jk} складываются все числа таблицы, поэтому порядок суммирования можно поменять. То же верно для двойного произведения.

246851015202530kaₖmn3579
2
5
Число слагаемых
4
Сумма Σ
24
Произведение Π
945
Синие столбики — члены ak=2k−1a_k = 2k - 1 от k=mk = m до k=nk = n, их n−m+1n - m + 1. Если умножить каждый член на 2, сумма удвоится, а произведение умножится на 2n−m+12^{n-m+1}.

В электронных таблицах, например в Excel, есть готовые функции для суммы и произведения диапазона ячеек, а в статистике среднее nn измерений записывают как 1n∑k=1nxk\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} x_k.

Баллы на олимпиаде

На школьной олимпиаде три ученика решают по четыре задачи. Ученик jj за задачу kk получает ajka_{jk} баллов: первый — 8, 6, 10 и 5, второй — 7, 9, 4 и 10, третий — 10, 8, 6 и 9. Запишите общую сумму баллов двойной суммой и вычислите её двумя способами: по ученикам и по задачам.

Решение

  1. Общая сумма баллов — ∑j=13∑k=14ajk\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{4} a_{jk}, сумма всех 3⋅4=123 \cdot 4 = 12 чисел таблицы.
  2. Считаем по ученикам, т. е. сначала внутренние суммы по kk: ∑k=14a1k=29\sum_{k=1}^{4} a_{1k} = 29, ∑k=14a2k=30\sum_{k=1}^{4} a_{2k} = 30 и ∑k=14a3k=33\sum_{k=1}^{4} a_{3k} = 33. Всего 29+30+33=9229 + 30 + 33 = 92.
  3. Считаем по задачам, поменяв порядок суммирования: ∑j=13aj1=25\sum_{j=1}^{3} a_{j1} = 25, ∑j=13aj2=23\sum_{j=1}^{3} a_{j2} = 23, ∑j=13aj3=20\sum_{j=1}^{3} a_{j3} = 20 и ∑j=13aj4=24\sum_{j=1}^{3} a_{j4} = 24. Всего 25+23+20+24=9225 + 23 + 20 + 24 = 92.
  4. Оба порядка дают одно и то же: ∑j=13∑k=14ajk=∑k=14∑j=13ajk=92\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{4} a_{jk} = \sum_{k=1}^{4}\sum_{j=1}^{3} a_{jk} = 92. Второй подсчёт заодно показывает, что третья задача была самой трудной.

Ответ: Ученики набрали всего 92 балла — неважно, как складывать: по ученикам или по задачам.

Задача для тренировки

Вычислите ∏k=14(2k−1)\prod_{k=1}^{4} (2k - 1) и ∑k=25k2\sum_{k=2}^{5} k^2.

Показать решение

∏k=14(2k−1)=1⋅3⋅5⋅7=105\prod_{k=1}^{4} (2k - 1) = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105. В сумме 5−2+1=45 - 2 + 1 = 4 слагаемых: ∑k=25k2=4+9+16+25=54\sum_{k=2}^{5} k^2 = 4 + 9 + 16 + 25 = 54.