Бернулијева диференцијална једначина
\[\begin{array}{l} y' + f\left( x \right)y = g\left( x \right){y^\alpha }{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} /:{y^\alpha } \\ \frac{{y'}}{{{y^\alpha }}} + f\left( x \right)\frac{y}{{{y^\alpha }}} = g\left( x \right) \\ \frac{{y'}}{{{y^\alpha }}} + f\left( x \right){y^{1 - \alpha }} = g\left( x \right) \\ смена:{y^{1 - \alpha }} = z \\ {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}\left( {1 - \alpha } \right){y^{1 - \alpha - 1}}y' = z' \\ {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} \left( {1 - \alpha } \right)\frac{{y'}}{{{y^\alpha }}} = z' \\ {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} \frac{{y'}}{{{y^\alpha }}} = \frac{{z'}}{{1 - \alpha }} \\ \\ \frac{{z'}}{{1 - \alpha }} + f\left( x \right)z = g\left( x \right){\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} / \cdot \left( {1 - \alpha } \right) \\ z' + \left( {1 - \alpha } \right)f\left( x \right)z = \left({1 - \alpha } \right)g\left( x \right) \end{array}\]
Задаци
1. Одреди опште решење диференцијалне једначине $y' + 2xy = 2{x^3}{y^3}$.
Ово је Бернулијева диференцијална једначина, задата у њеном стандардном облику, код које је $\alpha = 3$.
Дакле, најпре диференцијалну једначину делимо са ${y^3}$.
$y' + 2xy = 2{x^3}{y^3}{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /:{y^3}$
$\frac{{y'}}{{{y^3}}} + 2x\frac{1}{{{y^2}}} = 2{x^3}$
Уводимо смену $\frac{1}{{{y^2}}} = z$, односно ${y^{ - 2}} = z$.
Како је $y$ зависна променљива, одређујући извод добијамо
$ - 2{y^{ - 3}}y' = z'$ односно $\frac{{y'}}{{{y^3}}} = \frac{{z'}}{{ - 2}}$.
Уврштавајући то у полазну диференцијалну једначину
$\frac{{z'}}{{ - 2}} + 2xz = 2{x^3}{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} / \cdot \left( { - 2} \right)$
$z' - 4xz = - 4{x^3}$ добили смо линеарну диференцијалну једначину коју решавамо стандардном сменом.
$z = uv{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow{\text{ }}{\text{ }} z' = u'v + uv'$
$u'v + uv' - 4xuv = - 4{x^3}$
$u'v + u\left( {v' - 4xv} \right) = - 4{x^3}$
$v' - 4xv = 0$
$\frac{{dv}}{{dx}} = 4xv$
$\frac{{dv}}{v} = 4xdx{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$\ln \left| v \right| = 4\frac{{{x^2}}}{2}$
$v = {e^{2{x^2}}}$
$u'{e^{2{x^2}}} = - 4{x^3}$
$\frac{{du}}{{dx}} = - 4{x^3}{e^{ - 2{x^2}}}$
$du = - 4{x^3}{e^{ - 2{x^2}}}dx{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$u = - 4\int {{x^3}{e^{ - 2{x^2}}}dx} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = {x^2}}&{dv = x{e^{ - 2{x^2}}}dx}\\
{du = 2xdx}&{v = \int {x{e^{ - 2{x^2}}}dx = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2{x^2} = t}\\
{ - 4xdx = dt}
\end{array}} \right|} }\\
{}&{v = \int {{e^t}\frac{{dt}}{{ - 4}} = - \frac{1}{4}{e^{ - 2{x^2}}}} }
\end{array}} \right| = $
$ {\text{ }}{\text{ }} = - 4\left( { - \frac{{{x^2}}}{4}{e^{ - 2{x^2}}} + \frac{2}{4}\int {x{e^{ - 2{x^2}}}dx} } \right)$
$ {\text{ }}{\text{ }} = {x^2}{e^{ - 2{x^2}}} - 2\left( { - \frac{1}{4}{e^{ - 2{x^2}}}} \right) + C = {x^2}{e^{ - 2{x^2}}} + \frac{1}{2}{e^{ - 2{x^2}}} + C$
\[z = uv = {x^2} + \frac{1}{2} + C{e^{2{x^2}}}\]
Како је $\frac{1}{{{y^2}}} = z{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}y = \frac{1}{{\sqrt z }}$, па је
\[y = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + \frac{1}{2} + C{e^{2{x^2}}}} }}\]
2. Наћи оно партикуларно решење диференцијалне једначине $xy' + y = - x{y^2}$ које задовољава почетни услов $y\left( 1 \right) = \frac{1}{2}$.
Најпре једначину делимо са $x$ да би је свели на облик Бернулијеве диференцијалне једначине
$xy' + y = - x{y^2} {\text{ }}{\text{ }} {\rm{ /:}}x$
$y' + \frac{1}{x}y = - {y^2}{\text{ }}{\text{ }} {\rm{ /:}}{y^2}$
$\frac{{y'}}{{{y^2}}} + \frac{1}{x}\frac{1}{y} = - 1$
$\frac{1}{y} = z{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} {y^{ - 1}} = z{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} - {y^{ - 2}}y' = z'{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \frac{{y'}}{{{y^2}}} = - z'$
$ - z' + \frac{1}{x}z = - 1{\text{ }}{\text{ }} {\rm{ /:}}\left( { - 1} \right)$
$z' - \frac{1}{x}z = 1$
$z = uv {\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }} z' = u'v + uv'$
$u'v + uv' - \frac{1}{x}uv = 1$
$u'v + u\left( {v' - \frac{1}{x}v} \right) = 1$
$v' - \frac{1}{x}v = 0$
$\frac{{dv}}{{dx}} = \frac{1}{x}v$
$\frac{{dv}}{v} = \frac{1}{x}dx {\text{ }}{\text{ }} {\rm{ /}}\int {} $
$\ln \left| v \right| = \ln \left| x \right|$
$v = x$
$u'x = 1$
$\frac{{du}}{{dx}} = \frac{1}{x}$
$du = \frac{1}{x}dx{\text{ }}{\text{ }} {\rm{ /}}\int {} $
$u = \ln \left| x \right| + \ln C$
$u = \ln xC$
\[z = uv = x\ln xC\]
\[y = \frac{1}{z} = \frac{1}{{x\ln xC}}\]
Уврштавајући почетни услов
$\frac{1}{2} = \frac{1}{{1 \cdot \ln 1 \cdot C}} \Rightarrow \ln C = 2 \Rightarrow C = {e^2}$
\[y = \frac{1}{{x\left( {\ln x + 2} \right)}}\]
3. Одреди опште решење диференцијалне једначине $y' + \frac{2}{x}y = \frac{{{y^3}}}{{{x^2}}}$.
$y' + \frac{2}{x}y = \frac{{{y^3}}}{{{x^2}}}{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /:{y^3}$
$\frac{{y'}}{{{y^3}}} + \frac{2}{x}\frac{1}{{{y^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}}$
$\frac{1}{{{y^2}}} = z{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} {y^{ - 2}} = z{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} - 2{y^{ - 3}}y' = z'{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \frac{{y'}}{{{y^3}}} = \frac{{z'}}{{ - 2}}$
$\frac{{z'}}{{ - 2}} + \frac{2}{x}z = \frac{1}{{{x^2}}}{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} / \cdot \left( { - 2} \right)$
$z' - \frac{4}{x}z = - \frac{2}{{{x^2}}}$
$z = uv{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }} z' = u'v + uv'$
$u'v + uv' - \frac{4}{x}uv = - \frac{2}{{{x^2}}}$
$u'v + u\left( {v' - \frac{4}{x}v} \right) = - \frac{2}{{{x^2}}}$
$v' - \frac{4}{x}v = 0$
$\frac{{dv}}{{dx}} = \frac{4}{x}v$
$\frac{{dv}}{v} = \frac{4}{x}dx{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$\ln \left| v \right| = 4\ln \left| x \right|$
$v = {x^4}$
$u'{x^4} = - \frac{2}{{{x^2}}}$
$\frac{{du}}{{dx}} = - \frac{2}{{{x^6}}}$
$du = - \frac{2}{{{x^6}}}dx{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$u = - 2\int {{x^{ - 6}}dx} $
$u = \frac{2}{{5{x^5}}} + C$
\[z = uv = \frac{2}{{5x}} + C{x^4}\]
\[y = \frac{1}{{\sqrt z }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{2}{{5x}} + C{x^4}} }}\]
4. Одреди опште решење диференцијалне једначине $xy' + y = {y^2}\ln x$.
$xy' + y = {y^2}\ln x{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /:x$
$y' + \frac{1}{x}y = {y^2}\frac{{\ln x}}{x}{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /:{y^2}$
$\frac{{y'}}{{{y^2}}} + \frac{1}{x}\frac{1}{y} = \frac{{\ln x}}{x}$
$\frac{1}{y} = z{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} {y^{ - 1}} = z{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} - {y^{ - 2}}y' = z'{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \frac{{y'}}{{{y^2}}} = - z'$
$ - z' + \frac{1}{x}z = \frac{{\ln x}}{x}{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} / \cdot \left( { - 1} \right)$
$z' - \frac{1}{x}z = - \frac{{\ln x}}{x}$
$z = uv{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }} z' = u'v + uv'$
$u'v + uv' - \frac{1}{x}uv = - \frac{{\ln x}}{x}$
$u'v + u\left( {v' - \frac{1}{x}v} \right) = - \frac{{\ln x}}{x}$
$v' - \frac{1}{x}v = 0$
$\frac{{dv}}{{dx}} = \frac{1}{x}v$
$\frac{{dv}}{v} = \frac{1}{x}dx{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$\ln \left| v \right| = \ln \left| x \right|$
$v = x$
$u'x = - \frac{{\ln x}}{x}$
$\frac{{du}}{{dx}} = - \frac{{\ln x}}{{{x^2}}}$
$du = - \frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$u = - \int {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\ln x = t \Rightarrow x = {e^t}}\\
{\frac{1}{x}dx = dt}
\end{array}} \right| = - \int {\frac{t}{{{e^t}}}} dt = $
${\text{ }}{\text{ }} = - \int {t{e^{ - t}}dt} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = t}&{dv = {e^{ - t}}dt}\\
{du = dt}&{v = - {e^{ - t}}}
\end{array}} \right| = $
$ {\text{ }}{\text{ }} = - \left( { - t{e^t} + \int {{e^{ - t}}dt} } \right) = t{e^t} + {e^t} + C = $
$ {\text{ }}{\text{ }} = x\ln x + x + C$
\[z = uv = {x^2}\ln x + {x^2} + Cx\]
\[y = \frac{1}{z} = \frac{1}{{{x^2}\ln x + {x^2} + Cx}}\]
5. Одреди опште решење диференцијалне једначине $xy' - 4y - {x^2}\sqrt y $.
$xy' - 4y - {x^2}\sqrt y = 0{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} /:x$
$y' - \frac{4}{x}y = x\sqrt y {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /:\sqrt y $
$\frac{{y'}}{{\sqrt y }} - \frac{4}{x}\sqrt y = x$
$\sqrt y = z{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} {y^{\frac{1}{2}}} = z{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \frac{1}{2}{y^{ - \frac{1}{2}}}y' = z'{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \frac{{y'}}{{\sqrt y }} = 2z'$
$2z' - \frac{4}{x}z = x{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /:2$
$z' - \frac{2}{x}z = \frac{x}{2}$
$z = uv {\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }} z' = u'v + uv'$
$u'v + uv' - \frac{2}{x}uv = \frac{x}{2}$
$u'v + u\left( {v' - \frac{2}{x}v} \right) = \frac{x}{2}$
$v' - \frac{2}{x}v = 0$
$\frac{{dv}}{{dx}} = \frac{2}{x}v$
$\frac{{dv}}{v} = \frac{2}{x}dx{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$\ln \left| v \right| = 2\ln \left| x \right|$
$v = {x^2}$
$u'{x^2} = \frac{x}{2}$
$\frac{{du}}{{dx}} = \frac{1}{{2x}}$
$du = \frac{1}{{2x}}dx{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$u = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + \frac{1}{2}\ln C$
$u = \ln \sqrt {xC} $
\[z = uv = {x^2}\ln \sqrt {xC} \]
\[y = {z^2} = {x^4}{\ln ^2}\sqrt {xC} \]
6. Одреди оно партикуларно решење диференцијалне једначине $xdx = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} - {y^3}} \right)dy$, које задовољава почетни услов $y\left( 2 \right) = 1$.
Ову диференцијалну једначину није могуће свести на Бернулијеву диференцијалну једначину по $y$, па ћемо је покушати свести на Бернулијеву дј по $x$, односно на диференцијалну једначину облика $x' + f\left( y \right)x = g\left( y \right){x^\alpha }$.
$x\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{{{x^2}}}{y} - {y^3}$
$xx' = \frac{{{x^2}}}{y} - {y^3}{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /:x$
$x' = \frac{1}{y}x - \frac{{{y^3}}}{x}$
$x' - \frac{1}{y}x = - \frac{{{y^3}}}{x}$
$x' - \frac{1}{y}x = - \frac{{{y^3}}}{x}{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} / \cdot x$
$xx' - \frac{1}{y}{x^2} = - {y^3}$
${x^2} = z{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }} {\rm{ 2}}xx' = z'{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} xx' = \frac{{z'}}{2}$
$\frac{{z'}}{2} - \frac{1}{y}z = - {y^3}{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} / \cdot 2$
$z' - \frac{2}{y}z = - 2{y^3}$
$z = uv{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow{\text{ }}{\text{ }} z' = u'v + uv'$
$u'v + uv' - \frac{2}{y}uv = - 2{y^3}$
$u'v + u\left( {v' - \frac{2}{y}v} \right) = - 2{y^3}$
$v' - \frac{2}{y}v = 0$
$\frac{{dv}}{{dy}} = \frac{2}{y}v$
$\frac{{dv}}{v} = \frac{2}{y}dy{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$\ln \left| v \right| = 2\ln \left| y \right|$
$v = {y^2}$
$u'{y^2} = - 2{y^3}$
$\frac{{du}}{{dy}} = - 2y$
$du = - 2ydy{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$u = - 2\frac{{{y^2}}}{2} + C$
$u = - {y^2} + C$
\[z = - {y^4} + C{y^2}\]
\[x = \sqrt z = \sqrt { - {y^4} + C{y^2}} = y\sqrt {C - {y^2}} \]
Уврштавајући почетни услов
$2 = 1 \cdot \sqrt {C - 1} \Rightarrow C = 5$
\[x = y\sqrt {5 - {y^2}} \]
7. Одреди опште решење диференцијалне једначине $y' - ytgx + {y^2}\cos x = 0$.
$y' - ytgx = - {y^2}\cos x{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }}/:{y^2}$
$\frac{{y'}}{{{y^2}}} - tgx \cdot \frac{1}{y} = - \cos x$
$\frac{1}{y} = z{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} {y^{ - 1}} = z{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} - {y^{ - 2}}y' = z'{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} \frac{{y'}}{{{y^2}}} = - z'$
$ - z' - tgx \cdot z = - \cos x{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }}/ \cdot \left( { - 1} \right)$
$z' + tgx \cdot z = \cos x$
$z = uv{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }} z' = u'v + uv'$
$u'v + uv' + tgxuv = \cos x$
$u'v + u\left( {v' + tgxv} \right) = \cos x$
$v' + tgxv = 0$
$\frac{{dv}}{{dx}} = - tgxv$
$\frac{{dv}}{v} = - tgxdx{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }}/\int {} $
$\int {\frac{{dv}}{v}} = - \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} $
${\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos x = t}\\
{ - \sin xdx = dt}
\end{array}} \right|$
$\ln \left| v \right| = \int {\frac{{dt}}{t}} $
$\ln \left| v \right| = \ln \left| t \right|$
$v = t$
$v = \cos x$
$u'\cos x = \cos x$
$\frac{{du}}{{dx}} = 1$
$du = dx{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }}/\int {} $
$u = x + C$
\[z = uv = \left( {x + C} \right)\cos x\]
\[y = \frac{1}{z} = \frac{1}{{\left( {x + C} \right)\cos x}}\]