Диференцијалне једначине које раздвајају променљиве
\[\begin{array}{l} y' = f\left( x \right) \cdot g\left( y \right) \\ \frac{{dy}}{{dx}} = f\left( x \right) \cdot g\left( y \right) \\ \frac{{dy}}{{g\left( y \right)}} = f\left( x \right)dx/\int {} \\ \int {\frac{{dy}}{{g\left( y \right)}}} = \int {f\left( x \right)dx} + C \end{array}\]
Задаци
1. Одредити опште решење диференцијалне једначине $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{x{e^x}}}{{y\sqrt {1 + {y^2}} }}$.
Најпре раздвојимо променљиве, водећи рачуна да се $dx$ и $dy$ не смеју наћи испод разломачке црте.
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{x{e^x}}}{{y\sqrt {1 + {y^2}} }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ /}}dx$
помножићемо једначину са $dx$ да бисмо обезбедили да се оно налази изнад разломачке црте.
$dy = \frac{{x{e^x}}}{{y\sqrt {1 + {y^2}} }}dx {\text{ }} {\text{ }} {\text{ /}}y\sqrt {1 + {y^2}}$
Променљиве $x$ и $y$ треба да се налазе са различитих страна једнакости.
$y\sqrt {1 + {y^2}} dy = x{e^x}dx$
Када смо раздвојили променљиве, интегралимо добијену једнакост. (интеграл леве стране једнак је интегралу десне стране)
$\int {y\sqrt {1 + {y^2}} dy = \int {x{e^x}dx} }$
Посебно ћемо решити ове интеграле.
Интеграл леве стране решићемо директно сменом променљивих.
$\int {y\sqrt {1 + {y^2}} dy} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 + {y^2} = t/'}\\
{\left( {1 + {y^2}} \right)'dy = t'dt}\\
{2ydy = dt}\\
{ydy = \frac{{dt}}{2}}
\end{array}} \right| = $
$ = \int {\sqrt t \frac{{dt}}{2}} = \frac{1}{2}\int {{t^{\frac{1}{2}}}dt} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{{\sqrt {{t^3}} }}{3} + C = \frac{{\sqrt {{{\left( {1 + {y^2}} \right)}^3}} }}{3} + C$
Интеграл десне стране решавамо парцијалном интеграцијом.
$\int {x{e^x}dx} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = u{\rm{ /'}}}&{{e^x}dx = dv{\rm{ }}/\int {} }\\
{dx = du}&{\int {{e^x}dx = \int {dv} } }\\
{}&{{e^x} = v}
\end{array}} \right| = x{e^x} - \int {{e^x}dx = } x{e^x} - {e^x} + C$
На овај начин добијамо опште решење наше диференцијалне једначине
$\frac{{\sqrt {{{\left( {1 + {y^2}} \right)}^3}} }}{3} = x{e^x} - {e^x} + C$
(довољно је константу $C$ додати само једној страни једнакости)
Неки професори траже да се из добијене једнакости изрази $y$
$y = \pm \sqrt {\sqrt[3]{{{{\left( {3x{e^x} - 3{e^x} + 3C} \right)}^2}}} - 1} $
2. Одредити опште решење диференцијалне једначине $y' = \frac{{3{x^2}}}{{2y + \sin y}}$.
Имајући у виду да је $y' = \frac{{dy}}{{dx}}$, једначину сводимо на
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{3{x^2}}}{{2y + \sin y}}$
затим раздвајамо променљиве
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{3{x^2}}}{{2y + \sin y}}{\text{ }} {\text{ }}{\rm{ }}/dx$
$dy = \frac{{3{x^2}}}{{2y + \sin y}}dx{\text{ }} {\text{ }}{\rm{ }}/\left( {2y + \sin y} \right)$
$\left( {2y + \sin y} \right)dy = 3{x^2}dx$
Интегралимо једнакост
$\int {\left( {2y + \sin y} \right)dy = \int {3{x^2}dx} } $
Директним решавањем ових интеграла, добијамо опште решење наше диференцијалне једначине
$2\frac{{{y^2}}}{2} - \cos y = 3\frac{{{x^3}}}{3} + C$
${y^2} - \cos y = {x^3} + C$
3. Одредити опште решење диференцијалне једначине $\frac{x}{y} = \frac{{y'}}{{x + 1}}$.
$y'$ замењујемо са $\frac{{dy}}{{dx}}$
$\frac{x}{y} = \frac{{\frac{{dy}}{{dx}}}}{{x + 1}}{\text{ }} {\text{ }}{\rm{ /}}y\left( {x + 1} \right)$
затим раздвајамо променљиве
$y\frac{{dy}}{{dx}} = x\left( {x + 1} \right){\text{ }} {\text{ }}{\rm{ }}/dx$
$ydy = x\left( {x + 1} \right)dx{\text{ }} {\text{ }}{\rm{ /}}\int {} $
па интегралимо једнакост
$\int {ydy = \int {\left( {{x^2} + x} \right)} } dx$
директним решавањем ових интеграла, добијамо
$\frac{{{y^2}}}{2} = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C$
4. Одредити опште решење диференцијалне једначине $x + xy + y'\left( {y + xy} \right) = 0$.
$x\left( {1 + y} \right) = - y'y\left( {1 + x} \right)$
$x\left( {1 + y} \right) = - \frac{{dy}}{{dx}}y\left( {1 + x} \right) {\text{ }} {\text{ }}/dx$
$x\left( {1 + y} \right)dx = - y\left( {1 + x} \right)dy {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} {\text{ }}/\frac{1}{{1 + x}}\frac{1}{{1 + y}}$
$\frac{x}{{1 + x}}dx = - \frac{y}{{1 + y}}dy {\text{ }} {\text{ }}/\int {} $
$\int {\frac{x}{{1 + x}}dx} = - \int {\frac{y}{{1 + y}}dy} $
$\int {\frac{{x + 1 - 1}}{{1 + x}}dx} = - \int {\frac{{y + 1 - 1}}{{1 + y}}dy} $
$\int {\frac{{x + 1}}{{1 + x}}dx} - \int {\frac{1}{{1 + x}}dx} = - \left( {\int {\frac{{y + 1}}{{1 + y}}dy - \int {\frac{1}{{1 + y}}dy} } } \right)$
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 + x = t}\\
{dx = dt}
\end{array}} \right| {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 + y = s}\\
{dy = ds}
\end{array}} \right|$
$x - \int {\frac{1}{t}dt = - y + } \int {\frac{1}{s}ds} $
$x - \ln \left| t \right| = - y+\ln \left| s \right| + C$
$x - \ln \left| {1 + x} \right| = - y+\ln \left| {1 + y} \right| + C$
5. Одредити опште решење диференцијалне једначине $y\left( {{x^2} - 1} \right)y' = - x\left( {{y^2} - 1} \right)$.
$y\left( {{x^2} - 1} \right)\frac{{dy}}{{dx}} = - x\left( {{y^2} - 1} \right){\text{ }}{\text{ }} /dx$
$y\left( {{x^2} - 1} \right)dy = - x\left( {{y^2} - 1} \right)dx{\text{ }}{\text{ }} /\frac{1}{{{x^2} - 1}}\frac{1}{{{y^2} - 1}}$
$\frac{{ydy}}{{{y^2} - 1}} = - \frac{{xdx}}{{{x^2} - 1}}{\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$\int {\frac{{ydy}}{{{y^2} - 1}}} = - \int {\frac{{xdx}}{{{x^2} - 1}}} $
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y^2} - 1 = t}\\
{2ydy = dt}\\
{ydy = \frac{{dt}}{2}}
\end{array}} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} - 1 = s}\\
{2xdx = ds}\\
{xdx = \frac{{ds}}{2}}
\end{array}} \right|$
$\int {\frac{{\frac{{dt}}{2}}}{t}} = - \int {\frac{{\frac{{ds}}{2}}}{s}} $
$\frac{1}{2}\ln \left| t \right| = - \frac{1}{2}\ln \left| s \right| - \frac{1}{2}\ln C/2$
$\ln \left| t \right| = - \ln \left| s \right|C$
$\ln \left| t \right| = \ln {\left( {\left| s \right|C} \right)^{ - 1}}$
$\left| t \right| = \frac{1}{{\left| s \right|C}}$
$\left| {{y^2} - 1} \right| = \frac{1}{{C\left| {{x^2} - 1} \right|}}$
6. Одредити опште решење диференцијалне једначине $\left( {1 + tgy} \right)y' = {x^2} + 1$.
$\left( {1 + tgy} \right)\frac{{dy}}{{dx}} = {x^2} + 1{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }}/dx$
$\left( {1 + tgy} \right)dy = \left( {{x^2} + 1} \right)dx{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }}/\int {}$
$\int {\left( {1 + tgy} \right)dy} = \int {\left( {{x^2} + 1} \right)dx} $
$y + \int {\frac{{\sin y}}{{\cos y}}} dy = \frac{{{x^3}}}{3} + x + C$
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos y = t}\\
{ - \sin ydy = dt}\\
{\sin ydy = - dt}
\end{array}} \right|$
$y + \int {\frac{{ - dt}}{t}} = \frac{{{x^3}}}{3} + x + C$
$y - \ln \left| t \right| = \frac{{{x^3}}}{3} + x + C$
$y - \ln \left| {\cos y} \right| = \frac{{{x^3}}}{3} + x + C$
7. Одредити партикуларно решење диференцијалне једначине $x\cos x = \left( {y + {e^{2y}}} \right)y'$ које задовољава почетни услов $y\left( 0 \right) = 0$.
$x\cos x = \left( {y + {e^{2y}}} \right)\frac{{dy}}{{dx}}{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }}/dx$
$x\cos xdx = \left( {y + {e^{2y}}} \right)dy{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }}/\int {} $
$\int {x\cos xdx} = \int {\left( {y + {e^{2y}}} \right)dy} $
Интеграл леве стране решавамо парцијалном интеграцијом
$\int {x\cos xdx} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{u = x}&{dv = \cos xdx}\\
{du = dx}&{v = \sin x}
\end{array}} \right| = $
$ = x\sin x - \int {\sin xdx} = x\sin x + \cos x + C$
Док интеграл десне стране раздвајамо на збир два интеграла од којих први решавамо директно, а други сменом
$\int {\left( {y + {e^{2y}}} \right)dy} = \frac{{{y^2}}}{2} + \int {{e^{2y}}dy} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2y = s}\\
{2dy = ds}\\
{dy = \frac{{ds}}{2}}
\end{array}} \right| = $
$ = \frac{{{y^2}}}{2} + \int {{e^s}\frac{{ds}}{2}} = \frac{{{y^2}}}{2} + \frac{1}{2}{e^s} + C = \frac{{{y^2}}}{2} + \frac{1}{2}{e^{2y}} + C$
На овај начин добијамо опште решење полазне диференцијалне једначине
$x\sin x + \cos x = \frac{{{y^2}}}{2} + \frac{1}{2}{e^{2y}} + C$
Уврштавајући почетни услов $y\left( 0 \right) = 0$, odnosno $x = 0,y = 0$
$0\sin 0 + \cos 0 = \frac{{{0^2}}}{2} + \frac{1}{2}{e^{2 \cdot 0}} + C$
добијамо да је
$1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$
па је партикуларно решење полазне диференцијалне једначине
$x\sin x + \cos x = \frac{{{y^2}}}{2} + \frac{1}{2}{e^{2y}} + \frac{1}{2}$
8. Одредити опште решење диференцијалне једначине $y\sqrt {1 - {x^2}} dy + x\sqrt {1 - {y^2}} dx = 0$.
$y\sqrt {1 - {x^2}} dy = - x\sqrt {1 - {y^2}} dx{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }}/\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\frac{1}{{\sqrt {1 - {y^2}} }}$
$\frac{y}{{\sqrt {1 - {y^2}} }}dy = \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }}/\int {} $
$\int {\frac{y}{{\sqrt {1 - {y^2}} }}dy = \int {\frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx} } $
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - {y^2} = t}\\
{ - 2ydy = dt}\\
{ydy = \frac{{dt}}{{ - 2}}}
\end{array}} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - {x^2} = s}\\
{ - 2xdx = ds}\\
{ - xdx = \frac{{ds}}{2}}
\end{array}} \right|$
$\int {\frac{{\frac{{dt}}{{ - 2}}}}{{\sqrt t }} = \int {\frac{{\frac{{ds}}{2}}}{{\sqrt s }}} } $
$ - \frac{1}{2}\int {{t^{ - \frac{1}{2}}}dt} = \frac{1}{2}\int {{s^{ - \frac{1}{2}}}ds} $
$ - \frac{1}{2}\frac{{{t^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}\frac{{{s^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} + C$
$ - \sqrt t = \sqrt s + C$
$\sqrt {1 - {y^2}} = - \sqrt {1 - {x^2}} - C$
9. Одредити партикуларно решење диференцијалне једначине $y'\sin x = y\ln y$ које задовољава почетни услов $y\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = {e^{\sqrt 3 }}$.
$\frac{{dy}}{{dx}}\sin x = y\ln y{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }}/dx$
$dy\sin x = y\ln ydx{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }}/\frac{1}{{\sin x}}\frac{1}{{y\ln y}}$
$\frac{{dy}}{{y\ln y}} = \frac{{dx}}{{\sin x}}{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }}/\int {} $
$\int {\frac{{dy}}{{y\ln y}}} = \int {\frac{{dx}}{{\sin x}}} $
Интеграл леве стране решавамо сменом
$\int {\frac{{dy}}{{y\ln y}}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\ln y = t}\\
{\frac{1}{y}dy = dt}
\end{array}} \right| = \int {\frac{{dt}}{t}} = \ln \left| t \right| + \ln C = \ln \left( {\left| t \right|C} \right) = \ln \left( {\left| {\ln y} \right|C} \right)$
док су нам за решавање интеграла десне стране потребне тригонометријске трансформације
$\int {\frac{{dx}}{{\sin x}}} = \int {\frac{1}{{\sin 2 \cdot \frac{x}{2}}}} dx = \int {\frac{{{{\sin }^2}\frac{x}{2} + {{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{2\sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}}}} dx = \int {\frac{{{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{2\sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}}}} dx + \int {\frac{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{2\sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}}}} dx =$
$ = \frac{1}{2}\int {\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}}} dx + \frac{1}{2}\int {\frac{{\cos \frac{x}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}}} dx = $
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos \frac{x}{2} = t}\\
{ - \sin \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}dx = dt}\\
{\sin \frac{x}{2}dx = - 2dt}
\end{array}} \right|{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin \frac{x}{2} = s}\\
{\cos \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}dx = ds}\\
{\cos \frac{x}{2}dx = 2ds}
\end{array}} \right|$
$ = \frac{1}{2}\int {\frac{{ - 2dt}}{t}} + \frac{1}{2}\int {\frac{{ds}}{s}} =$
Како је $C$ произвољна константа, онда је и $\ln C$ такође произвољна константа.
$=- \ln \left| t \right| + \ln \left| s \right| + \ln C =$
С обзиром да је збир логаритама једнак логаритму производа, а разлика логаритама једнака логаритму количника, добијамо
$=\ln \left| {\frac{s}{t}} \right|C = \ln \left| {\frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\cos \frac{x}{2}}}} \right|C = \ln \left| {tg\frac{x}{2}} \right|C$
у овом задатку смо уместо $C$ писали $\ln C$ да бисмо антилогаритмовањем могли да уклонимо $\ln $ .
На овај начин долазимо до општег решења полазне диференцијалне једначине
$\ln \left( {\left| {\ln y} \right|C} \right) = \ln \left| {tg\frac{x}{2}} \right|$
$\left| {\ln y} \right|C = \left| {tg\frac{x}{2}} \right|$
Ако уврстимо почетни услов, односно $x = \frac{\pi }{3}$, а $y = {e^{\sqrt 3 }}$ добијамо
$\ln {e^{\sqrt 3 }} \cdot C = tg\left| {\frac{{\frac{\pi }{3}}}{2}} \right| \Rightarrow \sqrt 3 \ln e \cdot C = tg\left| {\frac{\pi }{6}} \right| \Rightarrow \sqrt 3 \cdot C = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow C = \frac{1}{3}$
па је тражено партикуларно решење
$\frac{1}{3}\left| {\ln y} \right| = \left| {tg\frac{x}{2}} \right|$