Хомогене диференцијалне једначине
\[\begin{array}{l} y' = f\left( {\frac{y}{x}} \right) \\ смена:{\rm{ }}\frac{y}{x} = t \\ {\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} y = t \cdot x \\ {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} y' = t' \cdot x + t \end{array}\]
Задаци
1. Одредити опште решење диференцијалне једначине $\left( {x - y} \right)ydx - {x^2}dy = 0$.
Потребно је најпре диференцијалну једначину свести на одговарајући облик, односно $\frac{{dy}}{{dx}}$ заменити са $y'$. Из тог разлога делимо једначину са $dx$.
$\left( {x - y} \right)ydx = {x^2}dy{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} /:dx$
Затим делимо са $x^2$ и раздвајамо разломак да би израз са леве стране свели на облик $f\left( {\frac{y}{x}} \right)$.
$\left( {x - y} \right)y = {x^2}\frac{{dy}}{{dx}}{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /:{x^2}$
$\frac{{xy - {y^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{dy}}{{dx}}$
$\frac{{xy}}{{{x^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} = y'$
$\frac{y}{x} - {\left( {\frac{y}{x}} \right)^2} = y'$
Сада можемо уврстити смену $\frac{y}{x} = t$, одакле следи $y = t \cdot x \Rightarrow y' = t' \cdot x + t$
На овај начин добијамо
$t - {t^2} = t' \cdot x + t$
односно
$ - {t^2} = t' \cdot x$
што је диференцијална једначина која раздваја променљиве, при чему је $t$ променљива која зависи од $x$, па је $t' = \frac{{dt}}{{dx}}$
$ - {t^2} = \frac{{dt}}{{dx}} \cdot x{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /dx$
$ - {t^2}dx = dt \cdot x{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\frac{1}{{{t^2}}}\frac{1}{x}$
$\frac{{dx}}{x} = - \frac{{dt}}{{{t^2}}}{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$\int {\frac{{dx}}{x} = - \int {\frac{{dt}}{{{t^2}}}} } $
$\ln \left| x \right| = - \frac{{{t^{ - 1}}}}{{ - 1}} + C$
Када вратимо смену, односно уместо $t$ упишемо $\frac{y}{x}$, добијамо опште решење диференцијалне једначине са почетка задатка.
$\ln \left| x \right| = \frac{x}{y} + C$
2. Одредити опште решење диференцијалне једначине $y' = \frac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}}$.
Да бисмо могли да сведемо на облик хомогене диференцијалне једначине, тачније да бисмо могли раздвојити разломак са десне стране, примењујемо реципрочну вредност једнакости.
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}}$
$\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{2xy}}$
На овај начин променили смо зависност променљивих, односно променљиву $x$ посматрамо као зависну од променљиве $y$.
$x' = \frac{{{x^2}}}{{2xy}} - \frac{{{y^2}}}{{2xy}}$
$x' = \frac{x}{{2y}} - \frac{y}{{2x}}$
$x' = \frac{1}{2}\frac{x}{y} - \frac{1}{2}\frac{1}{{\frac{x}{y}}}$
У овом случају уводимо смену $\frac{x}{y} = t$, водећи рачуна да је сада променљива $t$ зависна од $y$.
$\frac{x}{y} = t \Rightarrow x = t \cdot y \Rightarrow x' = t'y + t$
$t'y + t = \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}\frac{1}{t}$
$t'y = - \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}\frac{1}{t}$
Овим смо нашу диференцијалну једначину свели на диференцијалну једначину која раздваја променљиве
$\frac{{dt}}{{dy}}y = \frac{{ - {t^2} - 1}}{{2t}}{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /dy$
$ydt = \frac{{ - {t^2} - 1}}{{2t}}dy$
$\frac{{2t}}{{ - {t^2} - 1}}dt = \frac{1}{y}dy{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$ - \int {\frac{{2t}}{{{t^2} + 1}}dt} = \int {\frac{1}{y}dy} $
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{t^2} + 1 = s}\\
{2tdt = ds}
\end{array}} \right|$
$ - \int {\frac{{ds}}{s}} = \int {\frac{1}{y}dy} $
$ - \ln \left| s \right| = \ln \left| y \right| + \ln C$
$\ln {\left| s \right|^{ - 1}} = \ln \left| y \right|C$
$\frac{1}{{\left| s \right|}} = \left| y \right|C$
$\frac{1}{{\left| {{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + 1} \right|}} = \left| y \right|C$
$\frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} = \left| y \right|C$
3. Одредити опште решење диференцијалне једначине $xy' - y = \sqrt {{x^2} + {y^2}} $.
$xy' = y + \sqrt {{x^2} + {y^2}}{\text{ }}{\text{ }} /:x$
$y' = \frac{y}{x} + \frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{x}$
$y' = \frac{y}{x} + \sqrt {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2}}}} $
$y' = \frac{y}{x} + \sqrt {1 + {{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^2}} $
$\frac{y}{x} = t \Rightarrow y = t \cdot x \Rightarrow y' = t'x + t$
$t'x + t = t + \sqrt {1 + {t^2}} $
$\frac{{dt}}{{dx}}x = \sqrt {1 + {t^2}} $
$\frac{{dt}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} = \frac{{dx}}{x}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$\int {\frac{{dt}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}} = \int {\frac{{dx}}{x}} $
$\ln \left| {t + \sqrt {1 + {t^2}} } \right| = \ln \left| x \right| + \ln C$
$\ln \left| {\frac{y}{x} + \sqrt {1 + {{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^2}} } \right| = \ln \left| x \right|C$
$\left| \frac{{y + \sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{x} \right| = \left| x \right|C$
4. Одредити опште решење диференцијалне једначине $xy' = x{e^{\frac{y}{x}}} + y$.
$xy' = x{e^{\frac{y}{x}}} + y{\text{ }}{\text{ }} {\rm{ /}}:x$
$y' = \frac{{x{e^{\frac{y}{x}}}}}{x} + \frac{y}{x}$
$y' = {e^{\frac{y}{x}}} + \frac{y}{x}$
$\frac{y}{x} = t \Rightarrow y = t \cdot x \Rightarrow y' = t'x + t$
$t'x + t = {e^t} + t$
$\frac{{dt}}{{dx}}x = {e^t}$
$\frac{{dt}}{{{e^t}}} = \frac{{dx}}{x} {\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$\int {{e^{ - t}}dt} = \int {\frac{{dx}}{x}} $
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - t = s}\\
{ - dt = ds}
\end{array}} \right|$
$ - \int {{e^s}ds} = \int {\frac{{dx}}{x}} $
$ - {e^s} = \ln \left| x \right| + \ln C$
${e^{ - t}} = - \ln \left| x \right|C$
${e^{ - \frac{y}{x}}} = \ln {\left( {\left| x \right|C} \right)^{ - 1}}$
${e^{ - \frac{y}{x}}} = \ln \frac{1}{{\left| x \right|C}}$
5. Одредити опште решење диференцијалне једначине $\left( {{x^2} - {y^2}} \right)dy = xydx$.
Ако бисмо ову једначину покушали свести на облик $y' = f\left( {\frac{y}{x}} \right)$ имали би проблем да раздвојимо разломак, из тог разлога једначину преводимо на облик $x' = f\left( {\frac{x}{y}} \right)$ који једноставно решавамо.
$\left( {{x^2} - {y^2}} \right)dy = xydx{\text{ }}{\text{ }} /\frac{1}{{dy}}$
$\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{xy}} = \frac{{dx}}{{dy}}$
$\frac{{{x^2}}}{{xy}} - \frac{{{y^2}}}{{xy}} = \frac{{dx}}{{dy}}$
$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = x'$
$\frac{x}{y} = t \Rightarrow x = t \cdot y \Rightarrow x' = t'y + t$
$t - \frac{1}{t} = t'y + t$
$ - \frac{1}{t} = \frac{{dt}}{{dy}}y$
$ - \frac{{dy}}{y} = tdt{\rm{ } {\text{ }}{\text{ }} } /\int {} $
$ - \ln\left| y\right| + \ln C = \frac{{{t^2}}}{2}$
$\ln \frac{C}{\left|y\right|} = \frac{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2}}}{2}$
${x^2} = 2{y^2}\ln \frac{C}{\left|y\right| }$
6. Одредити опште решење диференцијалне једначине $1 + {e^{\frac{x}{y}}} + {e^{\frac{x}{y}}}\left( {1 - \frac{x}{y}} \right)y' = 0$.
${e^{\frac{x}{y}}}\left( {1 - \frac{x}{y}} \right)y' = - 1 - {e^{\frac{x}{y}}}$
$y' = - \frac{{1 + {e^{\frac{x}{y}}}}}{{{e^{\frac{x}{y}}}\left( {1 - \frac{x}{y}} \right)}}$
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{1 + {e^{\frac{x}{y}}}}}{{{e^{\frac{x}{y}}}\left( {\frac{x}{y} - 1} \right)}}$
$\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{{{e^{\frac{x}{y}}}\left( {\frac{x}{y} - 1} \right)}}{{1 + {e^{\frac{x}{y}}}}}$
$x' = \frac{{{e^{\frac{x}{y}}}\left( {\frac{x}{y} - 1} \right)}}{{1 + {e^{\frac{x}{y}}}}}$
$\frac{x}{y} = t \Rightarrow x = ty \Rightarrow x' = t'y + t$
$t'y + t = \frac{{{e^t}\left( {t - 1} \right)}}{{1 + {e^t}}}$
$\frac{{dt}}{{dy}}y = - t + \frac{{{e^t}\left( {t - 1} \right)}}{{1 + {e^t}}}$
$\frac{{dt}}{{dy}}y = \frac{{ - t - t{e^t} + {e^t}t - {e^t}}}{{1 + {e^t}}}$
$\frac{{dt}}{{dy}}y = - \frac{{t + {e^t}}}{{1 + {e^t}}}$
$ - \frac{{\left( {1 + {e^t}} \right)dt}}{{t + {e^t}}} = \frac{{dy}}{y} {\text{ }}{\text{ }} {\rm{ /}} \int {} $
$ - \int {\frac{{\left( {1 + {e^t}} \right)dt}}{{t + {e^t}}} = \int {\frac{{dy}}{y}} } $
$\left| \begin{array}{l}
t + {e^t} = s\\
\left( {1 + {e^t}} \right)dt = ds
\end{array} \right|$
$ - \int {\frac{{ds}}{s} = \int {\frac{{dy}}{y}} } $
$ - \ln \left|s\right| = \ln\left| y\right| + \ln C$
$\ln\left| s \right| = - \ln\left| y\right| C$
$\ln\left| s\right| = \ln {\left( {\left|y\right| C} \right)^{ - 1}}$
$\left|s \right| = \frac{1}{{\left|y\right| C}}$
$\left|t + {e^t}\right| = \frac{1}{{\left|y\right| C}}$
$\left|\frac{x}{y} + {e^{\frac{x}{y}}} \right| = \frac{1}{{\left|y\right| C}}$
7. Одредити опште решење диференцијалне једначине $xy' - y = \left( {x + y} \right)\ln \frac{{x + y}}{x}$.
$xy' = y + \left( {x + y} \right)\ln \left( {1 + \frac{y}{x}} \right){\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /:x$
$y' = \frac{y}{x} + \frac{{x + y}}{x}\ln \left( {1 + \frac{y}{x}} \right)$
$y' = \frac{y}{x} + \left( {1 + \frac{y}{x}} \right)\ln \left( {1 + \frac{y}{x}} \right)$
$\frac{y}{x} = t \Rightarrow y = tx \Rightarrow y' = t'x + t$
$t'x + t = t + \left( {1 + t} \right)\ln \left( {1 + t} \right)$
$\frac{{dt}}{{dx}}x = \left( {1 + t} \right)\ln \left( {1 + t} \right)$
$\frac{{dt}}{{\left( {1 + t} \right)\ln \left( {1 + t} \right)}} = \frac{{dx}}{x}{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$\int {\frac{{dt}}{{\left( {1 + t} \right)\ln \left( {1 + t} \right)}} = \int {\frac{{dx}}{x}} } $
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\ln \left( {1 + t} \right) = s}\\
{\frac{1}{{1 + t}}dt = ds}
\end{array}} \right|$
$\int {\frac{{ds}}{s} = \int {\frac{{dx}}{x}} } $
$\ln s = \ln x + \ln C$
$s = xC$
$\ln \left( {1 + t} \right) = xC$
$\ln \left( {1 + \frac{y}{x}} \right) = xC$
$1 + \frac{y}{x} = {e^{xC}}$
$y = x{e^{xC}} - x$
8. Одредити опште решење диференцијалне једначине $y' = \frac{{{x^3} + 2{x^2}y - {y^3}}}{{{x^3} + {x^2}y}}$.
Извлачимо испред заграде $x^3$ и у бројиоцу и у имениоцу, да би диференцијалну једначину свели на одговарајући облик $y' = f\left( {\frac{y}{x}} \right)$
$y' = \frac{{{x^3}\left( {1 + 2\frac{y}{x} - \frac{{{y^3}}}{{{x^3}}}} \right)}}{{{x^3}\left( {1 + \frac{y}{x}} \right)}}$
$y' = \frac{{1 + 2\frac{y}{x} - {{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^3}}}{{1 + \frac{y}{x}}}$
$\frac{y}{x} = t \Rightarrow y = tx \Rightarrow y' = t'x + t$
$t'x + t = \frac{{1 + 2t - {t^3}}}{{1 + t}}$
$t'x = \frac{{1 + 2t - {t^3}}}{{1 + t}} - t$
$t'x = \frac{{1 + 2t - {t^3} - t - {t^2}}}{{1 + t}}$
$\frac{{dt}}{{dx}}x = \frac{{1 + t - {t^3} - {t^2}}}{{1 + t}}$
$\frac{{\left( {t + 1} \right)dt}}{{1 + t - {t^3} - {t^2}}} = \frac{{dx}}{x}$
$\frac{{\left( {t + 1} \right)dt}}{{1 + t - {t^2}\left( {1 + t} \right)}} = \frac{{dx}}{x}$
$\frac{{\left( {t + 1} \right)dt}}{{\left( {1 + t} \right)\left( {1 - {t^2}} \right)}} = \frac{{dx}}{x}{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$\int {\frac{{dt}}{{1 - {t^2}}}} = \int {\frac{{dx}}{x}} $
$ - \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right| = \ln \left| x \right| + \ln C/ \cdot \left( { - 2} \right)$
$\ln \left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right| = - 2\ln \left| x \right|C$
$\ln \left| {\frac{{\frac{y}{x} - 1}}{{\frac{y}{x} + 1}}} \right| = \ln \frac{1}{{{{\left( {\left| x \right|C} \right)}^2}}}$
$\frac{{y - x}}{{y + x}} = \frac{1}{{{x^2}{C_1}}}$
9. Одредити опште решење диференцијалне једначине $y' = \frac{{2x - y}}{{3y + x}}$
$y' = \frac{{x\left( {2 - \frac{y}{x}} \right)}}{{x\left( {3\frac{y}{x} + 1} \right)}}$
$\frac{y}{x} = t \Rightarrow y = tx \Rightarrow y' = t'x + t$
$t'x + t = \frac{{2 - t}}{{3t + 1}}$
$t'x = \frac{{2 - t}}{{3t + 1}} - t$
$t'x = \frac{{2 - t - 3{t^2} - t}}{{3t + 1}}$
$\frac{{dt}}{{dx}}x = \frac{{2 - 2t - 3{t^2}}}{{3t + 1}}$
$\frac{{\left( {3t + 1} \right)dt}}{{2 - 2t - 3{t^2}}} = \frac{{dx}}{x}{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} /\int {} $
$\int {\frac{{\left( {3t + 1} \right)dt}}{{2 - 2t - 3{t^2}}} = \int {\frac{{dx}}{x}} } $
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 - 2t - 3{t^2} = s}\\
{\left( { - 2 - 6t} \right)dt = ds}\\
{\left( {3t + 1} \right)dt = \frac{{ds}}{{ - 2}}}
\end{array}} \right|$
$\int {\frac{{\frac{{ds}}{{ - 2}}}}{s} = \int {\frac{{dx}}{x}} } $
$ - \frac{1}{2}\ln \left| s \right| = \ln \left| x \right| + \ln C$
$\ln \left| s \right| = - 2\ln \left| x \right|C$
$\left|s\right| = {\left( {\left| x \right|C} \right)^{ - 2}}$
$\left|2 - 2t - 3{t^2} \right|= \frac{1}{{{{\left( {xC} \right)}^2}}}$
$\left|2 - 2\frac{y}{x} - 3{\left( {\frac{y}{x}} \right)^2}\right| = \frac{1}{{{{\left( {xC} \right)}^2}}}$
10. Показати да се диференцијална једначина $2{x^4}yy' + {y^4} = 4{x^6}$ сменом $y = {z^m}$ своди на хомогену диференцијалну једначину и наћи њено опште решење.
Уводимо смену $y = {z^m} \Rightarrow y' = m{z^{m - 1}}z'$ у нашу диференцијалну једначину и покушавамо је свести на облик хомогене диференцијалне једначине.
$2{x^4}{z^m}m{z^{m - 1}}z' + {\left( {{z^m}} \right)^4} = 4{x^6}$
$2m{x^4}{z^{2m - 1}}z' = 4{x^6} - {z^{4m}}{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /:2m{x^4}{z^{2m - 1}}$
$z' = \frac{{4{x^6}}}{{2m{x^4}{z^{2m - 1}}}} - \frac{{{z^{4m}}}}{{2m{x^4}{z^{2m - 1}}}}$
$z' = \frac{2}{m}\frac{{{x^2}}}{{{z^{2m - 1}}}} - \frac{1}{{2m}}\frac{{{z^{2m + 1}}}}{{{x^4}}}$
Да би ово била хомогена диференцијална једначина потребно је да $2m - 1 = 2{\rm{ }} \wedge {\rm{ }}2m + 1 = 4$ што је у оба случаја могуће ако је $m = \frac{3}{2}$.
Уврштавајући $m = \frac{3}{2}$ наша диференцијална једначина добија облик
$z' = \frac{4}{3}\frac{{{x^2}}}{{{z^2}}} - \frac{1}{3}\frac{{{z^4}}}{{{x^4}}}$
коју решавамо као хомогену диференцијалну једначину, уводећи смену
$\frac{z}{x} = t \Rightarrow z = tx \Rightarrow z' = t'x + t$
$t'x + t = \frac{4}{3}\frac{1}{{{t^2}}} - \frac{1}{3}{t^4}$
$\frac{{dt}}{{dx}}x = \frac{{4 - {t^6} - 3{t^3}}}{{3{t^2}}}$
$\frac{{3{t^2}dt}}{{4 - {t^6} - 3{t^3}}} = \frac{{dx}}{x}{\rm{ }}/\int {} $
$\int {\frac{{3{t^2}dt}}{{4 - {t^6} - 3{t^3}}}} = \int {\frac{{dx}}{x}} $
Интеграл леве стране решавамо као интеграл рационалне функције
$\int {\frac{{3{t^2}dt}}{{4 - {t^6} - 3{t^3}}}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{t^3} = s}\\
{3{t^2}dt = ds}
\end{array}} \right| = \int {\frac{{ds}}{{4 - {s^2} - 3s}}} = $
$\left( \begin{array}{l}
\frac{1}{{ - {s^2} - 3s + 4}} = \frac{1}{{\left( {s - 4} \right)\left( {1 - s} \right)}} = \frac{A}{{s - 4}} + \frac{B}{{1 - s}} = \\
= \frac{{A\left( {1 - s} \right) + B\left( {s - 4} \right)}}{{\left( {s - 4} \right)\left( {1 - s} \right)}} = \frac{{s\left( {B - A} \right) + \left( {A - 4B} \right)}}{{\left( {s - 4} \right)\left( {1 - s} \right)}}\\
\left\{ \begin{array}{l}
B - A = 0\\
A - 4B = 1
\end{array} \right\} \Rightarrow A = B = - \frac{1}{3}
\end{array} \right)$
$ = \int {\frac{{ - \frac{1}{3}}}{{s + 4}}} ds + \int {\frac{{ - \frac{1}{3}}}{{1 - s}}} ds = - \frac{1}{3}\ln \left| {s + 4} \right| - \frac{1}{3}\ln \left| {1 - s} \right| - \frac{1}{3}{\mathop{\rm lnC}\nolimits} = $
$ = - \frac{1}{3}\ln \left| {\left( {s + 4} \right)\left( {1 - s} \right)} \right|C$
док је интеграл десне стране, таблични интеграл
$\int {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right|C$
Тако добијамо
$ - \frac{1}{3}\ln \left| {\left( {s + 4} \right)\left( {1 - s} \right)} \right| = \ln \left| x \right|C$
$\ln \left| { - {s^2} - 3s + 4} \right| = - 3\ln \left| x \right|C$
$\left| { - {t^6} - 3{t^3} + 4} \right| = {\left( {\left| x \right|C} \right)^{ - 3}}$
$\left| { - {{\left( {\frac{z}{x}} \right)}^6} - 3{{\left( {\frac{z}{x}} \right)}^3} + 4} \right| = \frac{1}{{{{\left( {\left| x \right|C} \right)}^3}}}$
$y = {z^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow z = {y^{\frac{2}{3}}}$
$\left| { - \frac{{{y^4}}}{{{x^6}}} - 3\frac{{{y^2}}}{{{x^3}}} + 4} \right| = \frac{1}{{{{\left( {\left| x \right|C} \right)}^3}}}$