Једначина тоталног диференцијала

$$\begin{array}{l} {\text{ }} {\text{ }} Pdx + Qdy = 0 \\ {\text{ако је }} {\text{ }}\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} \\ {\text{тада дату једначину можемо записати у облику}} \\ {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} dF\left( {x,y} \right) = 0 \\ односно{\text{ }} {\text{ }} \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}_Pdx + \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}_Qdy = 0 \\ {\text{где је }} {\text{ }} F\left( {x,y} \right) = C \\ \end{array}$$

Задаци

1. Решити диференцијалну једначину тоталног диференцијала $\left( {2{x^3} - x{y^2}} \right)dx + \left( {2{y^3} - {x^2}y} \right)dy = 0$.

$\underbrace {\left( {2{x^3} - x{y^2}} \right)}_Pdx + \underbrace {\left( {2{y^3} - {x^2}y} \right)}_Qdy = 0$

Како је

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \left( {2{x^3} - x{y^2}} \right)_y^, = - 2xy$

$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \left( {2{y^3} - {x^2}y} \right)_x^, = - 2xy$

парцијални извод функције $P$ по $y$ једнак парцијалном изводу функције $Q$ по $x$, ово јесте диференцијална једначина тоталног диференцијала.

Тада постоји функција $F\left( {x,y} \right) = C$, чији је тотални диференцијал $\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial F}}{{\partial y}}dy = 0$

где је $\frac{{\partial F}}{{\partial x}}=P$ и $\frac{{\partial F}}{{\partial y}}=Q$.

С обзиром да је

$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = P = 2{x^3} - x{y^2}{\rm{ }} {\text{ }} {\text{ }} /\int {} dx$

интегралећи ову једнакост по $x$ добијамо функцију $F$.

$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx} = \int {\left( {2{x^3} - x{y^2}} \right)dx}$

Како интегралимо по $x$, $y$ представља константу. Па уместо $C$ додајемо произвољну функцију по $y$, односно $\varphi \left( y \right)$.

$F\left( {x,y} \right) = 2\frac{{{x^4}}}{4} - {y^2}\frac{{{x^2}}}{2} + \varphi \left( y \right) {\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} /\frac{\partial }{{\partial y}}$

Функцију $\varphi \left( y \right)$ је још потребно одредити, па радимо парцијални извод добијене једнакости по $y$, јер тиме добијамо $\frac{{\partial F}}{{\partial y}}$ који ћемо изједначити са $Q$.

$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = \left( {2\frac{{{x^4}}}{4} - {y^2}\frac{{{x^2}}}{2} + \varphi \left( y \right)} \right)_y^,$

$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = - \frac{{{x^2}}}{2}2y + \varphi '\left( y \right) = Q$

$- {x^2}y + \varphi '\left( y \right) = 2{y^3} - {x^2}y$

Одавде добијамо да је $\varphi '\left( y \right)$

$\varphi '\left( y \right) = 2{y^3}{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} /\int {} dy$

интегралећи по $y$ добићемо функцију $\varphi \left( y \right)$

$\int {\varphi '\left( y \right)} dy = \int {2{y^3}} dy$

$\varphi \left( y \right) = 2\frac{{{y^4}}}{4} + C_1$

Коначно, тражена функција $F$

$$F\left( {x,y} \right) = \frac{{{x^4}}}{2} - \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} + \frac{{{y^4}}}{2} + C_1$$

Како је $F\left( {x,y} \right) = C$, решење полазне диференцијалне једначине је

$$\frac{{{x^4}}}{2} - \frac{{{x^2}{y^2}}}{2} + \frac{{{y^4}}}{2} = C$$

2. Одреди решење диференцијалне једначине тоталног диференцијала $\left( {{x^3} + 3x{y^2}} \right)dx + \left( {{y^3} + 3{x^2}y} \right)dy = 0$ које задовољава почетни услов $T\left( {1,1} \right)$.

$\underbrace {\left( {{x^3} + 3x{y^2}} \right)}_Pdx + \underbrace {\left( {{y^3} + 3{x^2}y} \right)}_Qdy = 0$

Како је

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \left( {{x^3} + 3x{y^2}} \right)_y^, = 3x \cdot 2y = 6xy$

$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \left( {{y^3} + 3{x^2}y} \right)_x^, = 3y \cdot 2x = 6xy$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}}=\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}$ ово јесте диференцијална једначина тоталног диференцијала.

$\exists F\left( {x,y} \right) = C:{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}_Pdx + \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}_Qdy = 0$

Пођимо сада од чињенице да је

$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = Q = {y^3} + 3{x^2}y{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} /\int {} dy$

интегралећи ову једнакост по $y$, добићемо функцију $F$.

$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}dy} = \int {\left( {{y^3} + 3{x^2}y} \right)dy}$

Како сада интегралимо по $y$, $x$ представља константу, па уместо $C$ сада додајемо произвољну функцију по $x$, односно $\varphi \left( x \right)$.

$F\left( {x,y} \right) = \frac{{{y^4}}}{4} + 3{x^2}\frac{{{y^2}}}{2} + \varphi \left( x \right){\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} /\frac{\partial }{{\partial x}}$

Функцију $\varphi \left( x \right)$ је потребно одредити, што ћемо учинити тако што ћемо одредити парцијални извод добијене функције $F$ по $x$ и изједначити га са $P$.

$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = \left( {\frac{{{y^4}}}{4} - 3{x^2}\frac{{{y^2}}}{2} + \varphi \left( x \right)} \right)_x^,$

$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = \frac{3}{2}{y^2}2x + \varphi '\left( x \right) = P$

$3{y^2}x + \varphi '\left( x \right) = {x^3} + 3x{y^2}$

На овај начин смо добили

$\varphi '\left( x \right) = {x^3}{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} /\int {} dx$

Интегралећи $\varphi '\left( x \right)$ по $x$, добијамо саму функцију $\varphi \left( x \right)$

$\int {\varphi '\left( x \right)} dx = \int {{x^3}} dx$

$\varphi \left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + C_1$

Сада је тражена функција $F$

$$F\left( {x,y} \right) = \frac{{{y^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}{y^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{4} + C_1$$

односно решење полазне диференцијалне једначине

$$\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}{y^2}}}{2} + \frac{{{y^4}}}{4} = C$$

уврштавајући почетни услов добијамо ${\text{ }} \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{4} = C {\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }} C = 2$

Коначно, партикуларно решење које задовољава почетни услов је

$$\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}{y^2}}}{2} + \frac{{{y^4}}}{4} = 2$$

3. Одреди решење диференцијалне једначине тоталног диференцијала ${e^y}dx + \left( {x{e^y} - 2y} \right)dy = 0$ које задовољава почетни услов $y\left( 1 \right) = 0$.

$\underbrace {{e^y}}_Pdx + \underbrace {\left( {x{e^y} - 2y} \right)}_Qdy = 0$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \left( {{e^y}} \right)_y^, = {e^y}$

$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \left( {x{e^y} - 2y} \right)_x^, = {e^y}$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} {\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }} \exists F\left( {x,y} \right) = C:{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}_Pdx + \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}_Qdy = 0$

$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = P = {e^y}{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} /\int {} dx$

$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx = \int {{e^y}dx} }$

$F\left( {x,y} \right) = {e^y}x + \varphi \left( y \right){\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} /\frac{\partial }{{\partial y}}$

$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = \left( {{e^y}x + \varphi \left( y \right)} \right)_y^,$

$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = x{e^y} + \varphi '\left( y \right) = Q$

$x{e^y} + \varphi '\left( y \right) = x{e^y} - 2y$

$\varphi '\left( y \right) = - 2y{\rm{ }}{\text{ }} {\text{ }} /\int {} dy$

$\int {\varphi '\left( y \right)} dy = \int { - 2y} dy$

$\varphi \left( y \right) = - 2\frac{{{y^2}}}{2} + C_1$

$$F\left( {x,y} \right) = x{e^y} - {y^2} + C_1$$

$$x{e^y} - {y^2} = C$$

$1 \cdot {e^0} - {0^2} = C{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow{\text{ }} {\text{ }} C = 1$

$$x{e^y} - {y^2} = 1$$

4. Решити диференцијалну једначину тоталног диференцијала $\left( {2x + {e^{ - y}}} \right)dx + \left( {\cos y - x{e^{ - y}}} \right) = 0$ која задовољава почетни услов $y\left( 2 \right) = 0$.

$\underbrace {\left( {2x + {e^{ - y}}} \right)}_Pdx + \underbrace {\left( {\cos y - x{e^{ - y}}} \right)}_Q = 0$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \left( {2x + {e^{ - y}}} \right)_y^, = - {e^{ - y}}$

$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \left( {\cos y - x{e^{ - y}}} \right)_x^, = - {e^{ - y}}$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} {\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }} \exists F\left( {x,y} \right) = C:{\text{ }}{\text{ }} \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}_Pdx + \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}_Qdy = 0$

$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = 2x + {e^{ - y}}{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\int {} dx$

$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx = \int {\left( {2x + {e^{ - y}}} \right)dx} }$

$F\left( {x,y} \right) = 2\frac{{{x^2}}}{2} + {e^{ - y}}x + \varphi \left( y \right){\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\frac{\partial }{{\partial y}}$

$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = \left( {{x^2} + {e^{ - y}}x + \varphi \left( y \right)} \right)_y^, = - x{e^{ - y}} + \varphi '\left( y \right) = Q$

$- x{e^{ - y}} + \varphi '\left( y \right) = \cos y - x{e^{ - y}}$

$\varphi '\left( y \right) = \cos y{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} /\int {} dy$

$\varphi \left( y \right) = \sin y + {C_1}$

$$F\left( {x,y} \right) = {x^2} + {e^{ - y}}x + \sin y + {C_1}$$

$${x^2} + {e^{ - y}}x + \sin y = C$$

${2^2} + {e^{ - 0}} \cdot 2 + \sin 0 = C{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow{\text{ }}{\text{ }} C = 6$

$${x^2} + {e^{ - y}}x + \sin y = 6$$

5. Решити диференцијалну једначину тоталног диференцијала $\frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{{ydx - xdy}}{{{x^2}}}$.

$\frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{{ydx - xdy}}{{{x^2}}}$

$\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}dx + \frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}dy = \frac{y}{{{x^2}}}dx - \frac{x}{{{x^2}}}dy$

$\underbrace {\left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} - \frac{y}{{{x^2}}}} \right)}_Pdx + \underbrace {\left( {\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{1}{x}} \right)}_Q = 0$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} - \frac{y}{{{x^2}}}} \right)_y^, = \left( {x{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^{ - \frac{1}{2}}} - y{x^{ - 2}}} \right)_y^, =$

${\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} =x\left( { - \frac{1}{2}} \right){\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^{ - \frac{3}{2}}} \cdot 2y - {x^{ - 2}} = \frac{{ - xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} - \frac{1}{{{x^2}}}$

$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \left( {\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{1}{x}} \right)_x^, = \left( {y{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^{ - \frac{1}{2}}} + {x^{ - 1}}} \right)_x^, =$

${\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} = y\left( { - \frac{1}{2}} \right){\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^{ - \frac{3}{2}}} \cdot 2x - {x^{ - 2}} = \frac{{ - xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} - \frac{1}{{{x^2}}}$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} {\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }} \exists F\left( {x,y} \right) = C:{\text{ }}{\text{ }} \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}_Pdx + \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}_Qdy = 0$

$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} - \frac{y}{{{x^2}}}{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\int {} dx$

$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx = \int {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}dx - \int {\frac{y}{{{x^2}}}dx} } } =$

${\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }} \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x^2} + {y^2} = t}\\ {2xdx = dt}\\ {xdx = \frac{{dt}}{2}} \end{array}} \right|$

${\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} = \int {\frac{{\frac{{dt}}{2}}}{{\sqrt t }} - y\int {{x^{ - 2}}dx} } = \frac{1}{2}\frac{{{t^{\frac{1}{2}}}}}{{\frac{1}{2}}} - y\frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} + \varphi \left( y \right) = \sqrt {{x^2} + {y^2}} + \frac{y}{x} + \varphi \left( y \right)$

$F\left( {x,y} \right) = \sqrt {{x^2} + {y^2}} + \frac{y}{x} + \varphi \left( y \right){\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\frac{\partial }{{\partial y}}$

$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \frac{y}{x} + \varphi \left( y \right)} \right)_y^, = \frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}2y + \frac{1}{x} + \varphi '\left( y \right) = Q$

$\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{1}{x} + \varphi '\left( y \right) = \frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{1}{x}$

$\varphi '\left( y \right) = 0{\rm{ }} {\text{ }}{\text{ }} /\int {} dy$

$\varphi \left( y \right) = {C_1}$

$$F\left( {x,y} \right) = \sqrt {{x^2} + {y^2}} + \frac{y}{x} + {C_1}$$

$$\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \frac{y}{x} = C$$

6. Одреди решење диференцијалне једначине тоталног диференцијала $\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)dx + \left( { - 1 + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)ydy = 0$ које задовољава почетни услов $T\left( {0,1} \right)$.

$\underbrace {\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)}_Pdx + \underbrace {\left( { - 1 + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)y}_Qdy = 0$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = x\frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}2y = \frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}$

$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = y\frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}2x = \frac{{xy}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}$

$\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}\exists F\left( {x,y} \right) = C:{\rm{ }}\underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}_Pdx + \underbrace {\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}_Qdy = 0$

$\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = 1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} {\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\int {} dx$

$\int {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}dx = } \int {\left( {1 + x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)} dx$

$F\left( {x,y} \right) = \int {dx + } \int {x\sqrt {{x^2} + {y^2}} } dx$

${\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x^2} + {y^2} = t}\\ {2xdx = dt}\\ {xdx = \frac{{dt}}{2}} \end{array}} \right|$

${\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} = x + \int {\sqrt t } dt =$

${\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} = x + \frac{1}{2}\frac{{{{\sqrt t }^3}}}{{\frac{3}{2}}} + \varphi \left( y \right)$

$F\left( {x,y} \right) = x + \frac{{{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }^3}}}{3} + \varphi \left( y \right){\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\frac{\partial }{{\partial y}}$

$\frac{{\partial F}}{{\partial y}} = \frac{1}{3}\frac{3}{2}\sqrt {{x^2} + {y^2}} \cdot 2y + \varphi '\left( y \right) = Q$

$y\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \varphi '\left( y \right) = \left( { - 1 + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)y$

$\varphi '\left( y \right) = - y{\rm{ }}{\text{ }}{\text{ }} /\int {} dy$

$\varphi \left( y \right) = - \frac{{{y^2}}}{2} + {C_1}$

$$F\left( {x,y} \right) = x + \frac{{{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }^3}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{2} + {C_1}$$

$$x + \frac{{{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }^3}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{2} = C$$

$0 + \frac{{{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }^3}}}{3} - \frac{{{1^2}}}{2} = C{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}C = - \frac{1}{6}$

$$x + \frac{{{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }^3}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{2} = - \frac{1}{6}$$