Аритметика и алгебра

Природни, цели, рационални и ирационални бројеви

Скуп природних бројева $\mathbb{N}$ је подскуп скупа реалних бројева $\mathbb{R}$, за који важи

  1. $1 \in \mathbb{N},$
  2. из $k \in \mathbb{N}$ следи $k+1 \in \mathbb{N},$
  3. ако подскуп $M$ скупа $\mathbb{N}$ задовољава 1. и 2, онда је $ M = \mathbb{N}.$ Значи, $\mathbb{N} = \left\{ {1,2,....,n,...} \right\}.$

 

Скуп целих бројева $\mathbb{Z} = \left\{ {0,\pm 1,\pm 2,...,\pm n,...} \right\}$ је подскуп скупа реалних бројева $\mathbb{R}$, такав да је

$\mathbb{Z} = \left\{ {x \in \mathbb{R} \left| {x = m - k,{\rm{ }}m,k \in \mathbb{N} } \right.} \right\}$.

Скуп рационалних бројева $\mathbb{Q}$ је подскуп скупа реалних бројева $\mathbb{R}$, такав да је

$\mathbb{Q} = \left\{ {x \in \mathbb{R} \left| x \right. = \frac{p}{q},{\text{ }}p,q \in \mathbb{Z},{\text{ }}q \ne 0} \right\}.$

Скуп ирационалних бројева $\mathbb{I}$ је подскуп скупа реалних бројева $\mathbb{R}$, такав да је

$\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$.

За наведене скупове важи

$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} .$


Приближни бројеви

Нека је $x^*$ приближна вредност броја $x$.

Грешка броја $x^*$ је

$\Delta \left( {x^*} \right) = x - x^*$,

а апсолутна грешка броја $x^*$ је

$\left| {\Delta \left( {x^*} \right)} \right| = \left| {x - x^*} \right|$

Сваки број ${\Delta _{{x^*}}}$ који задовољава неједнакост

$\left| {\Delta \left( {x^*} \right)} \right| \le {\Delta _{{x^*}}}$

назива се граница апсолутне грешке приближног броја $x^*$.


Релативна грешка приближног броја $x^* \ne 0$ je

$\delta \left( {x^*} \right) = \frac{{\left| {\Delta \left( {x^*} \right)} \right|}}{{\left| {x^*} \right|}} = \frac{{\left| {x - x^*} \right|}}{\left| {x^*} \right| }$,

а сваки број ${\delta _{{x^*}}}$ за који важи $\delta \left( {{x^*}} \right) \le {\delta _{{x^*}}}$ назива се граница релативне грешке броја $x^*$.

Ако је позната граница апсолутне грешке ${\Delta _{{x^*}}}$, за границу релативне грешке се може узети

${\delta _{{x^*}}} = \frac{{{\Delta _{{x^*}}}}}{{\left| {{x^*}} \right|}}$,

број $x$ се записује у облику

$x = {x^*}\left( {1 \pm {\delta _{{x^*}}}} \right).$

Често се користи и процентуалана грешка, која се добија тако што се граница релативне грешке помножи са 100 и изрази у процентима.


Важеће и сигурне цифре

Важеће цифре неког броја су прва не-нула цифра са леве стране и све цифре иза ње. На пример, број 1.7230 има 5 важећих цифара, док 0.0491 има 3 важеће цифре.

Приближан број

${x^*} = \pm \left( {{a_n} \cdot {{10}^n} + {a_{n - 1}} \cdot {{10}^{n - 1}} + .... + {a_{n - m + 1}} \cdot {{10}^{n - m + 1}} + ...} \right)$

броја $x$, за који важи

$\left| {x - {x^*}} \right| \le \omega \cdot {10^{n - m + 1}},\omega \in \left[ {0.5,1} \right],$

има $m$ важећих сигурних цифарау ужем смислу ако је $\omega = 0.5$. односно у ширем смислу ако је $\omega = 1$.