Комплексни бројеви

Скуп комплексних бројева $\mathbb{C}$ је скуп:

$\mathbb{C} = \left\{ {a + ib|a,b \in \mathbb{R} \begin{array}{cccccccccccccccccccc} {}&{} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {}&{} \end{array}{i^2} = - 1} \right\}$

и важи

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$

Облик комплексног броја $z = a + ib$ назива се нормални или алгебарски облик комплексног броја.

Реални број $a$ назива се реални део комплексног броја $z$ и означава се са ${\mathop{\rm Re}\nolimits} z$ или ${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right)$.

Реални број $b$ назива се имагинарни део комплексног броја $z$ и означава се са ${\mathop{\rm Im}\nolimits} z$ или ${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right)$.

Број $z$ је реалан ако је ${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) = 0$. Ако је ${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) = 0$ и ${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) \ne 0$, каже се да је $z$ имагинаран број.

Једнакост комплексних бројева

Комплексни бројеви ${z_1} = {a_1} + i{b_1}$ и ${z_2} = {a_2} + i{b_2}$ су једнаки ако и само ако је ${a_1} = {a_2}$ и ${b_1} = {b_2}$ и то се означава са ${z_1} = {z_2}$.

Из $z = a + ib = 0$ следи $a = b = 0$.

Сабирање и одузимање комплексних бројева

Збир/разлика комплексних бројева ${z_1} = {a_1} + i{b_1}$ и ${z_2} = {a_2} + i{b_2}$ је комплексан број

$z = \left( {{a_1} \pm {a_2}} \right) + i\left( {{b_1} \pm {b_2}} \right),$

који се означава

$z = {z_1} \pm {z_2}$

и важи

${\mathop{\rm Re}\nolimits} \sum\limits_{k = 1}^n {z_k = \sum\limits_{k = 1}^n {{\mathop{\rm Re}\nolimits} z_k,\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {}&{} \end{array}} } {\mathop{\rm Im}\nolimits} \sum\limits_{k = 1}^n {} z_k = \sum\limits_{k = 1}^n {{\mathop{\rm Im}\nolimits} z_k.}$

Производ комплексних бројева

Производ комплексних бројева ${z_1} = {a_1} + i{b_1}$ и ${z_2} = {a_2} + i{b_2}$ je комплексни број

$z = \left( {{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} \right) + i\left( {{a_1}{b_2} + {a_2}{b_1}} \right),$

које се означава $z = {z_1}{z_2}$.

Дељење комплексних бројева

Количник комплексних бројева ${z_1}={a_1}+i{b_1}$ и ${z_2}={a_2}+i{b_2} \ne 0$ је комплексан број

$$z=\frac{z_1}{z_2}={z_1} \cdot \frac{1}{z_2}=\frac{{a_1}{a_2}+{b_1}{b_2}}{a_2^2+b_2^2}+i \frac{{a_2}{b_1}-{a_1}{b_2}}{a_2^2+b_2^2}$$

Реализација једнакости комплексних бројева и њихово сабирање и можење имају исте особине као и код реалних бројева.

При том

• неутрални елемент сабирања је $0 = 0 + i0$
• неутрални елемент множења je $1 = 1 + i0$
• инверзни елемент комплексног броја $z = a + ib$ у односу на сабирање је комплексни број $- z = - a - ib$,
• инверзни елемент комплексног броја $z = a + ib \ne 0$ у односу на множење је комплексни број
  ${z^{-1}} = \frac{1}{z} = \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} + i\frac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}}.$

Степен комплексног броја чији је изложилац цео број

Степен комплексног броја чији је изложилац цео број, дефинисан је на следећи начин:

1. ${z^1} = z,{\text{ }}{z^{m + 1}} = {z^m} \cdot z$ за $m \in \mathbb{N}$ и $z \in \mathbb{C}$,
2. ${z^0} = 1,{\text{ }}z \ne 0$,
3. ${z^{ - m}} = \frac{1}{{{z^m}}}$, за $m \in \mathbb{N}$ и $z \ne 0$

Важи:

1. ${i^2} = - 1,{\text{ }}{i^3} = - i,{\text{ }}{i^4} = {i^0} = 1$
2. ${i^{4k + 1}} = i,{\text{ }}{i^{4k + 2}} = - 1,{\text{ }}{i^{4k+3}}=-i,{\text{ }}{i^{4k}} = 1, \quad k = 0,1,2,...$

$n$-ти корен комплексног броја

Ако је $n$ природан број и $c$ комплексан број, онда је $n$-ти корен броја $c$ решење једначине ${z^n} = c$ и означава се са $\sqrt[n]{c}$.

За $c \ne 0$ постоји $n$ различитих $n$-тих корена броја $c$.

Степеновање и кореновање комплексних бројева имају исте особине као и код реалних бројева.

Конјуговано-комплексни бројеви

Број $\bar z = a - ib$ је конјугован броју $z = a + ib$.

Важи:

1. $z\bar z = {a^2}+{b^2}$,   $\bar{\bar z} = z$,
2. ${\mathop{\rm Re}\nolimits} {\rm{ }}z = \frac{1}{2}\left( {z + \bar z} \right),{\text{ Im }}z = \frac{1}{{{2i}}}\left( {z - \bar z} \right)$,
3. $\overline {{z_1} \pm {z_2}} = {\bar z_1} \pm {\bar z_2},{\text{ }}\overline {{z_1} \cdot {z_2}} = {\bar z_1} \cdot {\bar z_2}$,
4. $\overline {\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)} = \frac{{{{\bar z}_1}}}{{{{\bar z}_2}}},{\text{ }}{z_2} \ne 0$,
5. $\overline {\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{z_k}} } \right)} = \sum\limits_{k = 1}^n {{{\bar z}_k}} ,{\text{ }}\overline {\left( {\prod\limits_{k = 1}^n {{z_k}} } \right)} = \prod\limits_{k = 1}^n {{{\bar z}_k}}$.

Тригонометријски облик комплексног броја

Комплексан број $z = x + iy$ се у комплексној равни представља тачком $M\left( {x,y} \right)$.

Модул комплексног броја и неке његове особине

Модул комплексног броја $z = x + iy$ је

$\rho = \left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {z\bar z} = \left| {\bar z} \right|.$

1. $\left| z \right| \ge 0,$
2. $\left| z \right| = 0$ ако и само ако је $z = 0$,
3. ${\left| z \right|^2} = z\bar z$,
4. $\left| {\left| z \right| - \left| w \right|} \right| \le \left| {z \pm w} \right| \le \left| z \right| + \left| w \right|$,
5. $\left| {zw} \right| = \left| z \right|\left| w \right|$,
6. $\left| {\frac{z}{w}} \right| = {\frac{ \left| z \right| }{ \left| w \right| }}$, ако је $w \ne 0$,
7. из $\left| z \right| \le A$ и $\left| w \right| \le B$ следи $\left| {z + w} \right| \le A + B{\rm{ }}$ и $\left| {zw} \right| \le AB,{\text{ }}A,B \in \mathbb{R}.$

Аргумент комплексног броја

Аргумент комплексног броја $z = x + iy \ne 0$ је угао за који позитивни део $x$-осе треба да ротира око тачке $O$, да би се поклопио са $OM$.

Аргумент броја $z = 0$ се не дефинише.

Аргумент броја $z$ се означава са $Arg{\text{ }}z$ и није једнозначно одређен.

Аргумент који испуњава услов:

$- \pi < Arg{\text{ }z} \le \pi$,

зове се главна вредност аргумента, једнозначно је одређен и означава се са $\arg {\rm{ z}}$.

Важи:

$Arg{\rm{ z}} = \arg {\rm{ z}} + 2k\pi ,{\rm{ }}k = 0, \pm 1, \pm 2,....$

За $z = x + iy \ne 0,x \ne 0$, је

$\varphi = \arg {\rm{ }}z,{\text{ tg}}\varphi {\rm{ = }}\frac{y}{x}$

У општем случају главна вредност аргумента се одређује према

$\arg {\text{ }z} = \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {0,{\text{ } x > 0},{\text{ }y = 0,}}\\ {arctg\frac{y}{x},{\text{ }x>0,}{\text{ }y} \ne 0,}\\ {\frac{\pi }{2},{\text{ }x} = 0,{\text{ }y>}0,}\\ {\pi + arctg\frac{y}{x},{\text{ }x<0}{\text{ }y>0},}\\ {\pi ,{\text{ }x<0,}{\text{ }y} = 0,}\\ { - \pi + arctg\frac{y}{x},{\text{ }x<0,}{\text{ }y} < 0,}\\ { - \frac{\pi }{2},{\text{ }x} = 0,{\text{ }y<0.}} \end{array}} \right.{\rm{ }}$ 

Поларне координате комплексног броја

Поларне координате комплексног броја $z = x + iy \ne 0$ су $\left( {|z|,{\rm{ arg z}}} \right) = \left( {\rho ,\varphi } \right)$.

Везе између величина $x,y,|z|$ и ${\text{arg z}}$ су

$x = \rho \cos \varphi ,{\text{ }y} = \rho \sin \varphi, {\text{ }}\rho = {\left| z \right|, }{\text{ }}\varphi = \arg z.$

Тригонометријски облик комплексног броја

Тригонометријски облик комплексног броја $z = x + iy \ne 0$ је

$z = \rho \cos \varphi + i\rho \sin \varphi = \rho \left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right).$

Ако је ${{\text{ }z}_1}={\rho _1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right)$ и ${{\text{ }z}_2} = {\rho _2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)$ онда важи

1. ${z_1} \cdot {z_2} = {\rho _1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right) \cdot {\rho _2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)$ $= {\rho _1}{\rho _2}\left( {\cos \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right),$
2. $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{\rho _1}\left( {\cos {\varphi _1} + i\sin {\varphi _1}} \right)}}{{{\rho _2}\left( {\cos {\varphi _2} + i\sin {\varphi _2}} \right)}} = \frac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\left( {\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right).$
3. За комплексан број $z = \rho \left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right) \ne 0$ и цео број $n$ је $${z^n} = {\rho ^n}{\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^n} = {\rho ^n}\left( {\cos n\varphi + i\sin n\varphi } \right).$$
4. Ако је $n$ природан број и $z$ комплексан број $z = \rho \left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right),$ онда је $n$-ти корен броја $z$
   $\sqrt[n]{{z = }}\sqrt[n]{{\rho \left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)}} = \sqrt[n]{\rho }\left( {\cos \frac{{\varphi + 2k\pi }}{n} + i\sin \frac{{\varphi + 2k\pi }}{n}} \right),$
   при том је $\sqrt[n]{\rho }$ аритметички корен позитивног броја $\rho$ и $k = 0,1,2,...,n - 1$.

За $n \in \mathbb{N}, {\rm{k}} = 0,1,2,...,n - 1,$ важи:

$\sqrt[n]{1} = \cos \frac{{2k\pi }}{n} + i\sin \frac{{2k\pi }}{n},$

$\sqrt[n]{{ - 1}} = \cos \frac{{\left( {2k + 1} \right)\pi }}{n} + i\sin \frac{{\left( {2k + 1} \right)\pi }}{n}.$

Моаврова формула

${\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^n} = \cos n\varphi + i\sin n\varphi.$