Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Ознаке вишеструке суме и производа

За произвољне целе бројеве mm и n≥mn \ge m је:

∑k=mnak=am+am+1+⋅⋅⋅⋅+an−1+an\sum\limits_{k = m}^n {{a_k} = {a_m} + {a_{m + 1}} + \cdot \cdot \cdot \cdot + {a_{n - 1}} + {a_n}},

∏k=mnak=am⋅am+1⋅⋅⋅⋅⋅an−1⋅an\prod\limits_{k = m}^n {{a_k} = {a_m} \cdot {a_{m + 1}} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot {a_{n - 1}} \cdot {a_n}}.

Важи

∑j=mn∑k=m/n/ajk=∑k=m/n/∑j=mnajk,∏j=mn∏k=m/n/ajk=∏k=m/n/∏j=mnajk\sum\limits_{j = m}^n {\sum\limits_{k = {m^/}}^{{n^/}} {{a_{jk}} = \sum\limits_{k = {m^/}}^{{n^/}} {\sum\limits_{j = m}^n {{a_{jk}}} } } } ,\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {}&{} \end{array}\prod\limits_{j = m}^n {\prod\limits_{k = {m^/}}^{{n^/}} {{a_{jk}}} } = \prod\limits_{k = {m^/}}^{{n^/}} {\prod\limits_{j = m}^n {{a_{jk}}} }

Ознака ∑k=mnak\sum_{k=m}^{n} a_k замењује збир am+am+1+⋯+ana_m + a_{m+1} + \dots + a_n: индекс kk узима редом све целе вредности од доње границе mm до горње nn. Исто тако ∏k=mnak\prod_{k=m}^{n} a_k значи производ am⋅am+1⋯ana_m \cdot a_{m+1} \cdots a_n. Сабирака, односно чинилаца, има n−m+1n - m + 1, а не n−mn - m, што је најчешћа грешка при бројању. Име индекса није битно: ∑k=1nak\sum_{k=1}^{n} a_k и ∑i=1nai\sum_{i=1}^{n} a_i су исти збир.

Константа се извлачи испред суме: ∑k=1nc ak=c∑k=1nak\sum_{k=1}^{n} c\,a_k = c\sum_{k=1}^{n} a_k. Код производа она излази као степен cnc^n: ∏k=1nc ak=cn∏k=1nak\prod_{k=1}^{n} c\,a_k = c^n\prod_{k=1}^{n} a_k. У двострукој суми ∑j∑kajk\sum_{j}\sum_{k} a_{jk} сабирају се сви бројеви табеле, па редослед сума може да се замени. Исто важи за двоструки производ.

246851015202530kaₖmn3579
2
5
Број сабирака
4
Збир Σ
24
Производ Π
945
Плави стубићи су чланови ak=2k−1a_k = 2k - 1 од k=mk = m до k=nk = n, и има их n−m+1n - m + 1. Кад сваки члан помножите са 2, збир се удвостручи, а производ се помножи са 2n−m+12^{n-m+1}.

Табеларни програми као што је Excel имају готове функције за суму и производ опсега ћелија, а у статистици се просек nn мерења записује као 1n∑k=1nxk\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} x_k.

Поени на такмичењу

На школском такмичењу три ученика раде по четири задатка. Ученик jj на задатку kk освоји ajka_{jk} поена: први ученик 8, 6, 10 и 5, други 7, 9, 4 и 10, а трећи 10, 8, 6 и 9. Запишите укупан број поена двоструком сумом и израчунајте га на два начина: по ученицима и по задацима.

Решење

  1. Укупан број поена је ∑j=13∑k=14ajk\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{4} a_{jk}, збир свих 3⋅4=123 \cdot 4 = 12 бројева из табеле.
  2. По ученицима, прво унутрашња сума по kk: ∑k=14a1k=29\sum_{k=1}^{4} a_{1k} = 29, ∑k=14a2k=30\sum_{k=1}^{4} a_{2k} = 30 и ∑k=14a3k=33\sum_{k=1}^{4} a_{3k} = 33. Укупно је 29+30+33=9229 + 30 + 33 = 92.
  3. По задацима, са замењеним редоследом суме: ∑j=13aj1=25\sum_{j=1}^{3} a_{j1} = 25, ∑j=13aj2=23\sum_{j=1}^{3} a_{j2} = 23, ∑j=13aj3=20\sum_{j=1}^{3} a_{j3} = 20 и ∑j=13aj4=24\sum_{j=1}^{3} a_{j4} = 24. Укупно је 25+23+20+24=9225 + 23 + 20 + 24 = 92.
  4. Оба редоследа дају исто: ∑j=13∑k=14ajk=∑k=14∑j=13ajk=92\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{4} a_{jk} = \sum_{k=1}^{4}\sum_{j=1}^{3} a_{jk} = 92. Друга рачуница успут показује да је трећи задатак био најтежи.

Одговор: Ученици су освојили укупно 92 поена, било да се сабира по ученицима или по задацима.

Задатак за вежбу

Израчунајте ∏k=14(2k−1)\prod_{k=1}^{4} (2k - 1) и ∑k=25k2\sum_{k=2}^{5} k^2.

Прикажи решење

∏k=14(2k−1)=1⋅3⋅5⋅7=105\prod_{k=1}^{4} (2k - 1) = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105. Сума има 5−2+1=45 - 2 + 1 = 4 сабирка: ∑k=25k2=4+9+16+25=54\sum_{k=2}^{5} k^2 = 4 + 9 + 16 + 25 = 54.