Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Природни, цели, рационални и ирационални бројеви

Скуп природних бројева N\mathbb{N} је подскуп скупа реалних бројева R\mathbb{R}, за који важи

  1. 1∈N,1 \in \mathbb{N},
  2. из k∈Nk \in \mathbb{N} следи k+1∈N,k+1 \in \mathbb{N},
  3. ако подскуп MM скупа N\mathbb{N} задовољава 1. и 2, онда је M=N.M = \mathbb{N}. Значи, N={1,2,....,n,...}.\mathbb{N} = \left\{ {1,2,....,n,...} \right\}.

Скуп целих бројева Z={0,±1,±2,...,±n,...}\mathbb{Z} = \left\{ {0,\pm 1,\pm 2,...,\pm n,...} \right\} је подскуп скупа реалних бројева R\mathbb{R}, такав да је

Z={x∈R∣x=m−k,m,k∈N}\mathbb{Z} = \left\{ {x \in \mathbb{R} \left| {x = m - k,{\rm{ }}m,k \in \mathbb{N} } \right.} \right\}.

Скуп рационалних бројева Q\mathbb{Q} је подскуп скупа реалних бројева R\mathbb{R}, такав да је

Q={x∈R∣x=pq, p,q∈Z, q≠0}.\mathbb{Q} = \left\{ {x \in \mathbb{R} \left| x \right. = \frac{p}{q},{\text{ }}p,q \in \mathbb{Z},{\text{ }}q \ne 0} \right\}.

Скуп ирационалних бројева I\mathbb{I} је подскуп скупа реалних бројева R\mathbb{R}, такав да је

I=R\Q\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}.

За наведене скупове важи

N⊂Z⊂Q⊂R.\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} .

Приближни бројеви

Нека је x∗x^* приближна вредност броја xx.

Грешка броја x∗x^* је

Δ(x∗)=x−x∗\Delta \left( {x^*} \right) = x - x^*,

а апсолутна грешка броја x∗x^* је

∣Δ(x∗)∣=∣x−x∗∣\left| {\Delta \left( {x^*} \right)} \right| = \left| {x - x^*} \right|

Сваки број Δx∗{\Delta _{{x^*}}} који задовољава неједнакост

∣Δ(x∗)∣≤Δx∗\left| {\Delta \left( {x^*} \right)} \right| \le {\Delta _{{x^*}}}

назива се граница апсолутне грешке приближног броја x∗x^*.

Релативна грешка приближног броја x∗≠0x^* \ne 0 je

δ(x∗)=∣Δ(x∗)∣∣x∗∣=∣x−x∗∣∣x∗∣\delta \left( {x^*} \right) = \frac{{\left| {\Delta \left( {x^*} \right)} \right|}}{{\left| {x^*} \right|}} = \frac{{\left| {x - x^*} \right|}}{\left| {x^*} \right| },

а сваки број δx∗{\delta _{{x^*}}} за који важи δ(x∗)≤δx∗\delta \left( {{x^*}} \right) \le {\delta _{{x^*}}} назива се граница релативне грешке броја x∗x^*.

Ако је позната граница апсолутне грешке Δx∗{\Delta _{{x^*}}}, за границу релативне грешке се може узети

δx∗=Δx∗∣x∗∣{\delta _{{x^*}}} = \frac{{{\Delta _{{x^*}}}}}{{\left| {{x^*}} \right|}},

број xx се записује у облику

x=x∗(1±δx∗).x = {x^*}\left( {1 \pm {\delta _{{x^*}}}} \right).

Често се користи и процентуалана грешка, која се добија тако што се граница релативне грешке помножи са 100 и изрази у процентима.

Важеће и сигурне цифре

Важеће цифре неког броја су прва не-нула цифра са леве стране и све цифре иза ње. На пример, број 1.7230 има 5 важећих цифара, док 0.0491 има 3 важеће цифре.

Приближан број

x∗=±(an⋅10n+an−1⋅10n−1+....+an−m+1⋅10n−m+1+...){x^*} = \pm \left( {{a_n} \cdot {{10}^n} + {a_{n - 1}} \cdot {{10}^{n - 1}} + .... + {a_{n - m + 1}} \cdot {{10}^{n - m + 1}} + ...} \right)

броја xx, за који важи

∣x−x∗∣≤ω⋅10n−m+1,ω∈[0.5,1],\left| {x - {x^*}} \right| \le \omega \cdot {10^{n - m + 1}},\omega \in \left[ {0.5,1} \right],

има mm важећих сигурних цифарау ужем смислу ако је ω=0.5\omega = 0.5. односно у ширем смислу ако је ω=1\omega = 1.

Бројевни скупови се надовезују: N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}. Природни бројеви су 1,2,3,…1, 2, 3, \dots; цели бројеви садрже још нулу и негативне бројеве −1,−2,…-1, -2, \dots, а рационални су количници pq\frac{p}{q} целих бројева, q≠0q \ne 0, са коначним или периодичним децималним записом. Ирационални бројеви, I=R∖Q\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, као 2\sqrt 2 и π\pi, имају бесконачан непериодичан запис, па се у рачуну замењују приближним вредностима x∗x^*.

Апсолутна грешка је ∣x−x∗∣|x - x^*|, а релативна ∣x−x∗∣∣x∗∣\frac{|x - x^*|}{|x^*|}. Релативна грешка помножена са 100 је процентуална грешка. Тачност показује релативна грешка: 1 cm је много за оловку, а занемарљиво за пут. Важеће цифре броје се од прве цифре различите од нуле, па 0,03070{,}0307 има три важеће цифре.

1,31,351,41,451,50,0358√2x*
1,45
Апсолутна грешка
0,0358
Релативна грешка
2,47%
Клизач даје само рационалне бројеве са две децимале, па ниједан положај не погађа 2\sqrt 2 тачно. Најмању грешку даје 1,411{,}41: релативна грешка је тада око 0,3%0{,}3\%, као у примеру.

Сваки мерни уређај, од кухињске ваге до ласерског метра, има декларисану грешку, а инжењери и лаборанти према релативној грешки процењују да ли је мерење довољно тачно.

Дијагонала плочице

Керамичар сече квадратну плочицу странице 30 cm по дијагонали. Дијагонала је дуга 30230\sqrt 2 cm, а он рачуна са 2≈1,41\sqrt 2 \approx 1{,}41. Колика је апсолутна, а колика релативна грешка дужине коју је добио?

Решење

  1. Тачна дужина x=302x = 30\sqrt 2 је ирационалан број: x=42,4264…x = 42{,}4264\ldots cm.
  2. Приближна вредност је x∗=30⋅1,41=42,3x^* = 30 \cdot 1{,}41 = 42{,}3 cm.
  3. Апсолутна грешка је ∣x−x∗∣=42,4264…−42,3≈0,126|x - x^*| = 42{,}4264\ldots - 42{,}3 \approx 0{,}126 cm, нешто више од милиметра.
  4. Релативна грешка је 0,12642,3≈0,0030\frac{0{,}126}{42{,}3} \approx 0{,}0030, односно око 0,3%0{,}3\%.

Одговор: Апсолутна грешка је око 0,13 cm, а релативна око 0,3%.

Задатак за вежбу

Број π\pi заменимо са 3,143{,}14. Израчунајте апсолутну грешку и релативну грешку у процентима. Колико важећих цифара има број 0,030800{,}03080?

Прикажи решење

∣π−3,14∣≈0,0016|\pi - 3{,}14| \approx 0{,}0016, а релативна грешка је 0,00163,14≈0,0005\frac{0{,}0016}{3{,}14} \approx 0{,}0005, тј. око 0,05%0{,}05\%. Број 0,030800{,}03080 има четири важеће цифре: 3, 0, 8 и 0.