Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Степени, корени и логаритми

Степен чији је изложилац цео број

Степен чији је изложилац цео број дефинише се на следећи начин:

  1. a1=a, am+1=am⋅a{a^1} = a, \text{ } {a^{m + 1}} = {a^m} \cdot a, за m∈Nm \in \mathbb{N}, и a∈R,a \in \mathbb{R},
  2. a0=1, a≠0,{a^0} = 1,{\text{ }}a \ne 0,
  3. a−m=1am{a^{ - m}} = \frac{1}{{{a^m}}} за m∈Nm \in \mathbb{N} и a≠0.a \ne 0.

Неке особине степена

Ако је a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}, a>0,b>0a > 0,b > 0 и p,q∈Z,p,q \in \mathbb{Z}, онда важи:

  1. ap⋅aq=ap+q,{a^p} \cdot {a^q}{\rm{ = }}{a^{p + q}},
  2. (ap)q=apq,{\left( {{a^p}} \right)^q} = {a^{pq}},
  3. a−p=1ap,{a^{ - p}} = \frac{1}{{{a^p}}},
  4. apaq=ap−q,\frac{{{a^p}}}{{{a^q}}} = {a^{p-q}},
  5. (ab)p=apbp,{\left( {ab} \right)^p} = {a^p}{b^p},
  6. (ab)p=apbp.{\left( {\frac{a}{b}} \right)^p} = \frac{{{a^p}}}{{{b^p}}}.

Аритметички nn-ти корен

Нека је a∈Ra \in \mathbb{R}, a>0a > 0 и n∈N.n \in \mathbb{N}.

Јединствено позитивно решење једначине xn=a{x^n} = a је аритметички nn-ти корен, који се означава са a1n{a^{\frac{1}{n}}} или са an\sqrt[n]{a}.

За a=0a = 0 је 01n=0n=0{0^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{0} = 0.

Ако је a<0a < 0, онда се аритметички nn-ти корен дефинише само за непарно n∈Nn \in \mathbb{N}. У том случају је a1n{a^{\frac{1}{n}}}, односно an\sqrt[n]{a}, јединствено негативно решење једначине xn=a{x^n} = a.

Ако је n=2n = 2, онда се a2\sqrt[2]{a}, означава се са a\sqrt a.

Непосредна последица дефиниције nn-тог аритметичког корена је:

ann={a,   ако је n непаран број.∣a∣,   ако је n паран број.\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {a,{\text{ }} {\text{ }}{\text{ ако је }} n {\text{ }}{\text{непаран број.}}}\\ {\left| a \right|,{\text{ }}{\text{ }}{\text{ ако је } n {\text{ паран број.}}}} \end{array}} \right. 

Неке особине корена

Ако је a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}, a≥0a \ge 0, b≥0b \ge 0 и m,n∈Nm,n \in \mathbb{N} онда важи:

  1. amnm=an\sqrt[{nm}]{{{a^m}}} = \sqrt[n]{a},
  2. amn=(a1n)m=(am)1n=amn=(an)m{a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m},
  3. anm=amn\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a},
  4. abn=anbn\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b},
  6. abn=anbn,b≠0\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}},{\rm{ }}b \ne 0.

    7. Рационалисање имениоца

    Ако је a,b,c∈Ra,b,c \in \mathbb{R}, a>0,b>0,c>0,a > 0, b > 0, c > 0, и n∈N,n \in \mathbb{N}, онда важи:

    1. ab=abb\frac{a}{{\sqrt b }} = \frac{a}{b}\sqrt b,
    2. abn=abbn−1n\frac{a}{{\sqrt[n]{b}}} = \frac{a}{b}\sqrt[n]{{{b^{n - 1}}}},
    3. ab±c=ab−c(b∓c),b≠c\frac{a}{{\sqrt b \pm \sqrt c }} = \frac{a}{{b - c}}(\sqrt b \mp \sqrt c ),b \ne c,
    4. ab+c=ab2−c(b2−c)(b−c),b2≠c\frac{a}{{\sqrt {b + \sqrt c } }} = \frac{a}{{{b^2} - c}}\sqrt {\left( {{b^2} - c} \right)\left( {b - \sqrt c } \right)},b^2 \ne c,
    5. ab3±c3=ab±c(b23∓bc3+c23),b≠c\frac{a}{{\sqrt[3]{b} \pm \sqrt[3]{c}}} = \frac{a}{{b \pm c}}\left( {\sqrt[3]{{{b^2}}} \mp \sqrt[3]{{bc}} + \sqrt[3]{{{c^2}}}} \right),b \ne c.

    Логаритми

    Логаритам броја a>0a > 0 за основу c>0,c≠1c > 0,c \ne 1, је јединствено решење једначине cx=a{c^x} = a и означава се са log⁡ca{\log _c}a.

    Из дефиниције логаритама непосредно следи да је:

    1. clog⁡ca=a{c^{{{\log }_c}a}} = a,
    2. log⁡cc=1{\log _c}c = 1,
    3. log⁡ccp=p,p∈R{\log _c}{c^p} = p,{\rm{ }}p \in \mathbb{R},
    4. log⁡c1=0{\log _c}1 = 0.

    Неке особине логаритама

    Ако су c,d,xc,d,x и yy позитивни реални бројеви и c≠1,d≠1c \ne 1, d \ne 1 а nn природан број и pp реалан број различит од нуле, онда важи:

    1. log⁡cxy=log⁡cx+log⁡cy{\log _c}xy = {\log _c}x + {\log _c}y,
    2. log⁡cxy=log⁡cx−log⁡cy{\log _c}\frac{x}{y} = {\log _c}x - {\log _c}y,
    3. log⁡cxp=plog⁡cx{\log _c}{x^p} = p{\log _c}x,
    4. log⁡c(xn)=1nlog⁡cx{\log _c}\left( {\sqrt[n]{x}} \right) = \frac{1}{n}{\log _c}x,
    5. log⁡cd=1log⁡dc{\log _c}d = \frac{1}{{{{\log }_d}c}},
    6. log⁡dx=log⁡cxlog⁡cd=log⁡cx⋅log⁡dc{\log _d}x = \frac{{{{\log }_c}x}}{{{{\log }_c}d}} = {\log _c}x \cdot {\log _d}c,
    7. log⁡cpx=1p⋅log⁡cx{\log _{{c^p}}}x = \frac{1}{p} \cdot {\log _c}x,
    8. log⁡cx=log⁡cpxp{\log _c}x = {\log _{{c^p}}}{x^p}

    Декадни логаритам је логаритам са основом 10, а природни логаритам је логаритам са основом

    e=2.718281828...e = 2.718{\rm{ 281 828}}...

    Декадни логаритам позитивног реалног броја xx означава се са log⁡x{\log x} а природни логаритам истог броја са ln⁡x\ln x.

    Веза ова два логаритма је дата са:

    ln⁡x=log⁡xlog⁡e=1n10⋅log⁡x=(2.30259...)log⁡x,\ln x = \frac{{\log {\rm{ }}x}}{{\log {\rm{ }}e}} = 1n10 \cdot \log {\rm{ }}x = \left( {2.30259...} \right)\log {\rm{ }}x,

    log⁡x=1nx1n10=log⁡e⋅lnx=(0.43429...)ln⁡x.\log {\rm{ }}x = \frac{{1n{\rm{ }}x}}{{1n{\rm{ 10}}}} = \log {\rm{ }}e \cdot {\rm{ln }}x = \left( {0.43429...} \right)\ln {\rm{ }}x.

За степене исте основе важи ap⋅aq=ap+qa^p \cdot a^q = a^{p+q}, apaq=ap−q\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} и (ap)q=apq(a^p)^q = a^{pq}, а по дефиницији a0=1a^0 = 1 и a−m=1ama^{-m} = \frac{1}{a^m} за a≠0a \ne 0. Аритметички корен an\sqrt[n]{a} броја a>0a > 0 је позитивно решење једначине xn=ax^n = a, а може се писати као степен са разломљеним изложиоцем: amn=amn\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}. Пазите на паран корен: a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|, а не aa.

Логаритам је изложилац: log⁡ca=x\log_c a = x значи cx=ac^x = a, где је a>0a > 0, c>0c > 0 и c≠1c \ne 1. Логаритам производа је збир логаритама, log⁡cxy=log⁡cx+log⁡cy\log_c xy = \log_c x + \log_c y, а log⁡cxp=plog⁡cx\log_c x^p = p\log_c x. Честа грешка је log⁡c(x+y)=log⁡cx+log⁡cy\log_c (x + y) = \log_c x + \log_c y, што не важи. На другу основу се прелази формулом log⁡dx=log⁡cxlog⁡cd\log_d x = \frac{\log_c x}{\log_c d}. Декадни логаритам log⁡x\log x има основу 10, а природни ln⁡x\ln x основу e≈2,718e \approx 2{,}718.

−1135−11350xyy = xcˣлогаритам
2
log 2 + log 4 за основу c
3
log 8 за основу c
3
Графици y=cxy = c^x и y=log⁡cxy = \log_c x симетрични су у односу на праву y=xy = x, јер је логаритамска функција инверзна експоненцијалној. График логаритма увек пролази кроз тачку (1,0)(1, 0), а оба броја испод слике су увек једнака: то је правило log⁡c2+log⁡c4=log⁡c8\log_c 2 + \log_c 4 = \log_c 8.

Логаритамске скале служе за величине које се мењају у огромном распону: ниво буке у децибелима, киселост раствора у хемији и магнитуда земљотреса по Рихтеровој скали.

Бука на градилишту

Ниво звука у децибелима рачуна се као L=10log⁡II0L = 10\log\frac{I}{I_0}, где је II интензитет звука, а I0I_0 интензитет најтишег звука који ухо чује. Једна бушилица на градилишту ствара 80 децибела. Колико децибела стварају две такве бушилице које раде истовремено?

Решење

  1. Две бушилице заједно дају двоструки интензитет 2I2I, па је L2=10log⁡2II0L_2 = 10\log\frac{2I}{I_0}.
  2. Логаритам производа је збир логаритама: L2=10(log⁡2+log⁡II0)=10log⁡2+10log⁡II0L_2 = 10\left(\log 2 + \log\frac{I}{I_0}\right) = 10\log 2 + 10\log\frac{I}{I_0}.
  3. Други сабирак је ниво једне бушилице, 80 децибела, а 10log⁡2≈10⋅0,301=3,0110\log 2 \approx 10 \cdot 0{,}301 = 3{,}01.
  4. Дакле L2≈80+3,01=83,01L_2 \approx 80 + 3{,}01 = 83{,}01.

Одговор: Две бушилице стварају око 83 децибела, а не 160: двоструки интензитет подиже ниво за само 3 децибела.

Задатак за вежбу

У радионици истовремено раде четири иста компресора, сваки јачине 75 децибела. Колики је укупан ниво буке?

Прикажи решење

Интензитет је четири пута већи, па је L=75+10log⁡4=75+20log⁡2≈75+6,02=81,02L = 75 + 10\log 4 = 75 + 20\log 2 \approx 75 + 6{,}02 = 81{,}02, дакле око 81 децибел.