Аритметика и алгебра

Пропорционалност

Количник величина $a$ и $b \ne 0$, је размера, а број $a:b$, односно $\frac{a}{b}$, је вредност размере.

Ако размера $a:b$ и $c:d$ имају исту вредност, онда се каже да чине пропорцију, што се записује

$a:b = c:d,$

a $a,b,c$ и $d$ су чланови пропорције. Чланови $a$ и $d$ су спољашњи (крајњи), а $b$ и $c$ су унутрашњи (средњи) чланови.


Директна и обрнута пропорционалност

Величине $x$ и $y$ су директно пропорционалне ако је

$y = kx,{\text{ }}k > 0$

а обрнуто пропорционалне ако је

$y = \frac{k}{x},{\text{ }}x \ne 0,{\text{ }}k > 0.$


Неке особине пропорција

Ако је $a:b = c:d$, онда је $ad = bc$ и

$d:b = c:a,{\text{ }}d:c = b:a,{\text{ }}a:c = b:d.$

Ако је $a:b = c:d$ и $k$ произвољан број различит од нуле, онда

$\left( {ak} \right):\left( {bk} \right) = c:d,{\text{ }}\left( {a:k} \right):\left( {b:k} \right) = c:d,$

$\left( {ak} \right):b = \left( {ck} \right):d,{\text{ }}\left( {a:k} \right):b = \left( {c:k} \right):d.$.

Ако је $a:b = c:d$ и ако су $m,n,p$ и $q$ бројеви различити од нуле, онда је

$\left( {a \pm b} \right):\left( {c \pm d} \right) = a:c = b:d$,

$\left( {a + b} \right):\left( {c + d} \right) = \left( {a - b} \right):\left( {c - d} \right)$,

$\left( {ma \pm nb} \right):\left( {mc \pm nd} \right) = \left( {pa \pm qb} \right):\left( {pc \pm qd} \right)$.

Ако је

${a_1}:{b_1} = {c_1}:{d_1},$

${a_2}:{b_2} = {c_2}:{d_2},$

. . .

${a_n}:{b_n} = {c_n}:{d_n}$,

онда је

$\left( {{a_1}{a_2}...{a_n}} \right):\left( {{b_1}{b_2}...{b_n}} \right) = \left( {{c_1}{c_2}...{c_n}} \right):\left( {{d_1}{d_2}...{d_n}} \right)$.

Ако је $a:b = b:c,$ онда је

$b = \sqrt {ac} .$


Продужене размере

Ако је ${a_1}:{a_2}: \cdot \cdot \cdot :{a_n} = {b_1}:{b_2}: \cdot \cdot \cdot :{b_n},$ и ако су ${k_{1,}},{k_2},...{k_n}$ бројеви различити од нуле, онда је

$\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{{{b_1} + {b_2} + ... + {b_n}}} = \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}$,

$\frac{{{k_1}{a_1} + {k_2}{a_2} + ... + {k_n}{a_n}}}{{{k_1}{b_1} + {k_2}{b_2} + ... + {k_n}{b_n}}} = \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}$.


Златни пресек

$a:x = x:\left( {a - x} \right),{\text{ }}a > x$.


Аритметичка средина

$a = \frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n}$,


Геометријска средина

$g = \sqrt[n]{{{a_1} \cdot {a_2} \cdot ... \cdot {a_n}}}$,


Хармонијска средина

$h = \frac{n}{{\frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + ... + \frac{1}{{{a_n}}}}},{\text{ }}{a_1}{a_2}...{a_n} \ne 0$,