Асимптоте

Вертикалне асимптоте

Права $x = a$ је вертикална асимтота функције $f$ , ако и само ако је бар једна од граничних вредности

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a + 0} f\left( x \right) \quad \text{или} \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to a - 0} f\left( x \right)$

једнака $+ \infty$ или $- \infty$ .

Хоризонталне асимптоте

Права $y=b$ је хоризонтална асимптота функције $f$ за $x \in \left( {\alpha , + \infty } \right),\alpha \in \mathbb{R}$ , ако и само ако

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {f\left( x \right)} = b.$

Права $y=b$ је хоризонтална асимптота функције $f$ за $x \in \left( {- \infty, \alpha } \right),\alpha \in \mathbb{R}$ , ако и само ако

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {f\left( x \right)} = b.$

Косе асимптоте

Права $y = kx + n$ је коса асимптота функције $f$ за $x \in \left( {\alpha , + \infty } \right),\alpha \in \mathbb{R}$ , ако и само ако је

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f\left( x \right) - kx - n} \right) = 0$ .

Права $y = kx + n$ је коса асимптота функције $f$ за $x \in \left( { - \infty ,\alpha } \right),\alpha \in \mathbb{R}$ , ако и само ако је

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {f\left( x \right) - kx - n} \right) = 0$ .

Потребан и довољан услов да права $y = kx + n$ буде коса асиптота функције $f$ за $x \to \pm \infty$ , је

$k=\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} \quad \text{и} \quad n=\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {f\left( x \right) - kx} \right)$ .

Асимптота је права којој се график функције неограничено приближава. Права $x = a$ је вертикална асимптота ако је бар једна од граничних вредности $\lim_{x \to a - 0} f(x)$ и $\lim_{x \to a + 0} f(x)$ једнака $+\infty$ или $-\infty$ ; тражите је у нулама имениоца и на крајевима области дефинисаности. Права $y = b$ је хоризонтална асимптота ако је $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ или $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$ .

Коса асимптота $y = kx + n$ има $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ и $n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$ ; ако је $k = 0$ , то је хоризонтална асимптота. Пазите: нула имениоца која је и нула бројиоца, као код $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ , не мора да даје асимптоту, а график може да сече хоризонталну или косу асимптоту.

a (вертикална асимптота)1

k (нагиб косе асимптоте)0,5

n (одсечак косе асимптоте)1

f(1000) / 1000: 0,501
f(1000) − k · 1000: 1,002

График функције

f(x) = kx + n + \frac{2}{x - a}

има вертикалну асимптоту

x = a

и косу

y = kx + n

, која је за

k = 0

хоризонтална. Бројеви испод графика показују да је за велико

x

(овде

x = 1000

) количник

\frac{f(x)}{x}

близу

k

, а разлика

f(x) - kx

близу

n

Просечна цена по комаду у штампарији или фабрици има хоризонталну асимптоту у трошку израде једног комада, а брзина падобранца приближава се граничној брзини, која је хоризонтална асимптота графика брзине.

Цена летка у штампарији

Штампарија у Крагујевцу за припрему машине наплаћује 3.000 дин., а сваки одштампан летак кошта још 5 дин. Просечна цена једног летка при тиражу од $x$ комада је $p(x) = \frac{5x + 3000}{x}$ . Одредите асимптоте функције $p$ за $x > 0$ , објасните шта значе и израчунајте од ког тиража је просечна цена мања од 6 дин.

Решење

Функција није дефинисана за $x = 0$ , а $\lim_{x \to 0 + 0} \frac{5x + 3000}{x} = +\infty$ , па је $x = 0$ вертикална асимптота: при малом тиражу један летак је веома скуп.
Поделимо бројилац са $x$ : $p(x) = 5 + \frac{3000}{x}$ , па је $\lim_{x \to +\infty} p(x) = 5$ и права $y = 5$ је хоризонтална асимптота.
Коса асимптота кад $x \to +\infty$ не постоји, јер је $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{p(x)}{x} = 0$ .
Просечна цена пада ка 5 дин., али је увек мало већа, јер се трошак припреме дели на све више летака.
Из $5 + \frac{3000}{x} < 6$ следи $\frac{3000}{x} < 1$ , односно $x > 3000$ .

Одговор: Асимптоте су $x = 0$ и $y = 5$ , а просечна цена је мања од 6 дин. кад се штампа више од 3.000 летака.

Задатак за вежбу

Аутобус за екскурзију кошта 48.000 дин., а улазнице 1.500 дин. по ученику, па је цена по ученику $c(x) = 1500 + \frac{48\,000}{x}$ , где је $x$ број ученика. Одредите асимптоте функције $c$ за $x > 0$ и најмањи број ученика за који је цена мања од 3.500 дин.

Прикажи решење

$\lim_{x \to 0 + 0} c(x) = +\infty$ , па је $x = 0$ вертикална асимптота, а $\lim_{x \to +\infty} c(x) = 1500$ , па је $y = 1500$ хоризонтална. Из $\frac{48\,000}{x} < 2000$ следи $x > 24$ : потребно је бар 25 ученика.