Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производые различных порядков этой функции.

Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка:

$F\left( {x,y,y',y»,y»',….,{y^{\left( n \right)}}} \right) = 0.$

Порядком диффереального уравнения называется порядок наивысшей производной в него входящей.

Любая функция $y = \varphi \left( x \right)$ , которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению, т.е. обращает его в тождество при замене $y$ и его производных на $\varphi \left( x \right)$ и её производные называется решением диффереального уравнения.

Замечание 1.

Если искомая функция $y = \varphi \left( x \right)$ зависит от одной переменной, то диффереальное уравнение называется обыкновенным.

Замечание 2.

Если искомое решение получено в неявном виде, то это интеграл уравнения.

Общим решением диффереального уравнения называется такое его решение: $y = \varphi \left( {x,{C_1},{C_2},…,{C_n}} \right)$ которое содержит столько независимых произвольных постоянных ${{C_1},{C_2},…,{C_n}}$ , каков порядок этого уравнения.

Если общее решение задано в неявном виде $\left( {x,y,{C_1},{C_2},…,{C_n}} \right) = 0$ , то его называют общим интегралом.

Дифференциальное уравнение $F(x, y, y', \dots, y^{(n)}) = 0$ связывает независимую переменную, неизвестную функцию $y$ и её производные. Порядок уравнения — это порядок наивысшей производной в нём: $y'' + y = x^3$ — уравнение второго порядка, несмотря на третью степень. Решение — любая функция, которая вместе со своими производными обращает уравнение в тождество; это всегда можно проверить подстановкой.

Общее решение уравнения $n$ -го порядка содержит $n$ независимых произвольных постоянных $C_1, C_2, \dots, C_n$ , а если оно записано в неявном виде, его называют общим интегралом. Придав постоянным конкретные значения, получают частное решение. Постоянные обычно находят из начальных условий, то есть из значений функции и её производных до порядка $n - 1$ в одной точке. Поэтому уравнению второго порядка нужны два условия.

Начальная скорость20 м/с

Замедление5 м/с²

Автомобиль остановится через: 4 с
Тормозной путь: 40 м

Каждое положение ползунков даёт другое частное решение того же уравнения

s'' = -a

с постоянными

C_1 = v_0

C_2 = 0

из начальных условий. Удвойте начальную скорость: тормозной путь вырастет в четыре раза, потому что он равен

\frac{v_0^2}{2a}

Законы движения, остывания, роста популяции и разрядки аккумулятора записываются дифференциальными уравнениями, и их решают программы моделирования — от расчёта торможения автомобиля до прогноза погоды.

Торможение перед переходом

Автомобиль едет со скоростью 72 км/ч, то есть 20 м/с, когда водитель замечает пешехода и начинает тормозить. Пройденный путь $s(t)$ в метрах удовлетворяет уравнению $s'' = -5$ (замедление 5 м/с²) при начальных условиях $s(0) = 0$ и $s'(0) = 20$ . Каков тормозной путь?

Решение

Уравнение второго порядка, поэтому общее решение содержит две постоянные. Интегрируя, получаем $s' = -5t + C_1$ , а интегрируя ещё раз, $s = -2{,}5t^2 + C_1t + C_2$ .
Из начальных условий $s(0) = C_2 = 0$ и $s'(0) = C_1 = 20$ , поэтому частное решение имеет вид $s = -2{,}5t^2 + 20t$ .
Автомобиль останавливается, когда его скорость равна нулю: $s'(t) = -5t + 20 = 0$ , то есть через $t = 4$ с.
Тормозной путь равен $s(4) = -2{,}5 \cdot 16 + 20 \cdot 4 = -40 + 80 = 40$ м.

Ответ: Автомобиль останавливается через 4 с, в 40 м от места, где начал тормозить.

Задача для тренировки

Определите порядок уравнения $y'' = 6x$ , его общее решение и частное решение, для которого $y(0) = 1$ и $y'(0) = 2$ .

Показать решение

Уравнение второго порядка. $y' = 3x^2 + C_1$ и $y = x^3 + C_1x + C_2$ . Из $y(0) = C_2 = 1$ и $y'(0) = C_1 = 2$ следует $y = x^3 + 2x + 1$ .