Определённый интеграл

Определенные интегралы (интеграл Римана).

Пусть действительная функция $f$ определена и ограничена на ограниченном замкнутом интервале $\left[ {a,b} \right]$. Разобъем этот интервал на $n$ частичных интервалов точками

$a = {x_0} < {x_1} < … < {x_{n - 1}} < {x_n} = b$

Выберем в каждом из частичных интервалов по произвольной точке ${\xi _i}\left( {{x_{i - 1}} \leqslant {\xi _i} \leqslant {x_i}} \right)$  и составим сумму (интегральная сумма)

$$\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{\xi _i}} \right)} \left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right)$$

Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала разбиения: $\max \left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right) \to 0$, то функция $f$ называется интегрируемой в смысле Римана на интервале $\left[ {a,b} \right]$. Предел этой суммы $$I = \mathop {\lim }\limits_{\max \left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right) \to 0} \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{\xi _i}} \right)} \left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx$$ называется определенным интегралом от $f$ по интервалу $\left[ {a,b} \right]$ в смысле Римана (интеграл Римана). Это определение означает, что для любого положительного числа $\varepsilon$ существует такое число $\delta > 0$, что при любом разбиении интервала $\left[ {a,b} \right]$ на частичные интервалы, длины которых меньше $\delta > 0$ $$\max \left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right) < \delta$$ и при любом выборе промежуточных точек ${{\xi _i}}$ выполняется неравенство $$\left| {\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{\xi _i}} \right)} \left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right) - I} \right| < \varepsilon.$$

Функция $f$ называется подынтегральной функцией, а a и b — пределами интегрирования.

Суммы Дарбу

Пусть  $f$ определена и ограничена на $\left[ {a,b} \right]$. Для произвольного разбиения T$\left[ {a,b} \right]$ введём обозначения $${m_i} = \mathop {\inf }\limits_{\left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]} f\left( x \right)$$ $${M_i} = \mathop {\sup }\limits_{\left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right]} f\left( x \right)$$  и составим суммы: $$\begin{aligned}&s = \sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}} \cdot \left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right) \\ &S = \sum\limits_{i = 1}^n {{M_i}} \cdot \left( {{x_i} - {x_{i - 1}}} \right)\end{aligned}$$

Числа  s и S называются нижней и верхней суммами (суммами Дарбу), соответствующими данному разбиению T$\left[ {a,b} \right]$.

Функции, интегрируемые по Риману.

Функция $f$, определена и ограничена на $\left[ {a,b} \right]$, интегрируемой на интервале $\left[ {a,b} \right]$, тогда и только тогда, когда для любого  $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta \left( \varepsilon \right) > 0$, такое что для любого разбиения $P$ справедливо:

$\vartriangle \left( P \right) < \delta \Rightarrow S\left( P \right) - s\left( P \right) < \varepsilon$

Некоторые классы интегрируемых функций

1. Непрерывная на промежутке $\left[ {a,b} \right]$ функция $f$ интегрируема на этом промежутке.
2. Пусть $f$ ограничена на промежутке $\left[ {a,b} \right]$. Если для любого $\varepsilon > 0$ существует конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва $f$ и имеющих сумму длин, меньшую $\varepsilon$, то $f$ интегрируема на промежутке $\left[ {a,b} \right]$.
3. Монотонная на промежутке $\left[ {a,b} \right]$ функция $f$ интегрируема на этом промежутке.

Геометрический смысл определенного интеграла

Определенный интеграл $\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx$ для непрерывной и неотрицательной функции $f$ представляет собой в геометрическом смысле площадь соответствующей криволинейной трапеции.

То есть, вычислив определенный интеграл $\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx$, мы найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $$y = f\left( x \right),y = 0,y = a,y = b.$$

Замечание.

Если функция $f$ неположительная на отрезке $\left[ {a,b} \right]$, то площадь криволинейной трапеции может быть найдена как $$S = - \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx.$$

Свойства определённого интеграла

1. $\int\limits_a^a f\left( x \right)dx = 0$
2. Если существует $\int\limits_a^b f\left( x \right)dx$ за $a < b$, тогда$\int\limits_b^a f\left( x \right)dx = - \int\limits_a^b f\left( x \right)dx$
3. Если существует  $\int\limits_a^c f\left( x \right)dx$ и $\int\limits_c^b f\left( x \right)dx$, тогда существует $\int\limits_a^b f\left( x \right)dx$ для любых $a$, $b$ и $c$:$\int\limits_a^b f\left( x \right)dx = \int\limits_a^c f\left( x \right)dx + \int\limits_c^b f\left( x \right)dx.$
4. Если существует $\int\limits_a^b f\left( x \right)dx$ тогда для любого $C$$\int\limits_a^b Cf\left( x \right)dx = C\int\limits_a^b f\left( x \right)dx.$
5. Если существует $\int\limits_a^b f\left( x \right)dx$ и $\int\limits_a^b g\left( x \right)dx$, тогда существует $\int\limits_a^b \left( f \right.\left( x \right) + g\left. {\left( x \right)} \right)dx$ и справедливо:$\int\limits_a^b \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx = \int\limits_a^b f\left( x \right)dx + \int\limits_a^b g\left( x \right)dx$.
6. Если существует $\int\limits_a^b f\left( x \right)dx$ и $\int\limits_a^b g\left( x \right)dx$ и если $f\left( x \right) \leqslant g\left( x \right)$ за $x \in \left[ {a,b} \right]$, тогда$\int\limits_a^b f\left( x \right)dx \leqslant \int\limits_a^b g\left( x \right)dx.$
7. Если существует $\int\limits_a^b \left| {f\left( x \right)} \right|dx$ тогда существует и $\int\limits_a^b f\left( x \right)dx$ и справедливо$\left| {\int\limits_a^b f\left( x \right)dx} \right| \leqslant \int\limits_a^b \left| {f\left( x \right)} \right|dx$
8. Если функция $f$ непрерывна на интервале $\left[ {a,b} \right]$,тогда$F\left( x \right) = \int\limits_\alpha ^x {f\left( t \right)} dt$

   непрерывна на $\left[ {a,b} \right]$ и

   $F`\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Первая теорема о среднем

Пусть функция $f$ интегрируема на отрезке $\left[ {a,b} \right]$, и ограничена на нём числами $m$ и $M$ так, что $m \leqslant f\left( x \right) \leqslant M$. Тогда существует число $\mu \in \left[ {m,M} \right]$, что:

$\int\limits_\alpha ^b {f\left( x \right)dx = \mu \left( {b - a} \right)}$

Теорема о среднем

Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ $m \leqslant f\left( x \right) \leqslant M,{\text{ }}x \in \left[ {a,b} \right]$ и пусть $g\left( x \right) \geqslant 0$ (или $g\left( x \right) \leqslant 0$) для $x \in \left[ {a,b} \right]$.

Тогда найдётся $\mu \in \left[ {m,M} \right]$, такое что

$\int\limits_a^b f\left( x \right)g\left( x \right)dx = \mu \int\limits_a^b g\left( x \right)dx$.

Если $f$ непрерывная функция на $\left[ {a,b} \right]$, тогда найдётся по крайней мере одно $\xi \in \left( {a,b} \right)$ такое что

$\int\limits_a^b f\left( x \right)g\left( x \right)dx = f\left( \xi \right)\int\limits_a^b g\left( x \right)dx.$

Вторая теорема о среднем

Если функция $f$ монотонна (нестрого) на отрезке $\left[ {a,b} \right]$, а функция $g$ интегрируема на $\left[ {a,b} \right]$, то существует точка $\xi \in \left( {a,b} \right)$ такая, что

$\int\limits_a^b f\left( x \right)g\left( x \right)dx = f\left( a \right)\int\limits_a^\xi g\left( x \right)dx + f\left( b \right)\int\limits_\xi ^b g\left( x \right)dx$.

Почленное интегрирование функциональных рядов

Пусть функции ${f_k}\left( x \right),k = 1,2,…$ интегрируемы на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ и пусть

$\sum\limits_{k = 1}^\infty {{f_k}\left( x \right)} = f\left( x \right)$

сходится равновмерно на $\left[ {a,b} \right]$. Тогда $f\left( x \right)$ также интегрируема на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ и справедливо

$\int\limits_a^b f\left( x \right)dx = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {\int\limits_a^b {{f_k}\left( x \right)dx} } \right)}$